本章内容 ·有限域 ·BCH码的编码 ·BCH码的译码 ·戈雷(Golay)码 ·Reed-Solomon码 2013/4/11 2
2013/4/11 2 本章内容 有限域 BCH码的编码 BCH码的译码 戈雷(Golay)码 Reed-Solomon码
3.1引言 ·BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随机错误，它是 1959年由Bose、Chaudhuri及Hocquenghem各自独立发现的 二元线性循环码，人们用他们的名字字头命名为BCH码。 。3 在前面的讨论中，我们所做的只是构造一个码，然后计算它 的最小距离，从而估计出它的纠错能力，而在BCH码中，我 们将采用另外一种方法：先说明我们希望它能纠错的个数， 然后构造这种码。 2013/4/11
2013/4/11 3 3.1 引言 • BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随机错误，它是 1959年由Bose、Chaudhuri及Hocquenghem各自独立发现的 二元线性循环码，人们用他们的名字字头命名为BCH码。 • 在前面的讨论中，我们所做的只是构造一个码，然后计算它 的最小距离，从而估计出它的纠错能力，而在BCH码中，我 们将采用另外一种方法：先说明我们希望它能纠错的个数， 然后构造这种码
3.2BCH码简述 ·若循环码的生成多项式具有如下形式： g()=LCM[m1(),m3(X),m2-1(X)] 其中LCM表示最小公倍式，为纠错个数，m(x)为素多项式， 则由此生成的循环码称为BCH码，其最小码距d≥d=2t+1 (,称为设计码距)，它能纠正t个随机独立差错。 ·BCH码的码长n=2m-1或是n=2m-1的因子 本原BCH码 非本原BCH码 2013/4/11 4
2013/4/11 4 3.2 BCH码简述 • 若循环码的生成多项式具有如下形式： g(x)=LCM[m1(x),m3(x),…,m2t-1(x)] 其中LCM表示最小公倍式，t为纠错个数，mi (x)为素多项式， 则由此生成的循环码称为BCH码，其最小码距d≥d0 =2t+1 (d0称为设计码距)，它能纠正t个随机独立差错。 • BCH码的码长n=2m-1或是n=2m-1的因子 本原BCH码 非本原BCH码
·例3.1：BCH(15,5)码，可纠正3个随机独立差错，即仁3 d≥d,=2t+1=7 n=15=2m-1,s0m=4 查不可约多项式表可得 m1(x)=(23)g=010011=x4+x+1 m3(x)=(37)g=011111=x4+x3+x2+x+1 m5(x)=(07)8=000111=x2+x+1 这样g(x)=LCM[m1(x),m3(),ms(x】 =(x4+x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x2+x+1) =x10+x8+x5+x4+x2+X+1 2013/4/11 5
2013/4/11 5 • 例3.1: BCH(15,5)码，可纠正3个随机独立差错，即t=3 d ≥ d0 = 2t+1 = 7 n=15=2m-1, so m=4 查不可约多项式表可得 m1(x)=(23)8=010011=x4+x+1 m3(x)=(37)8=011111=x4+x3+x2+x+1 m5(x)=(07)8=000111=x2+x+1 这样 g(x)=LCM[m1(x),m3(x),m5(x)] =(x4+x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x2+x+1) = x10+x8+x5+x4+x2+x+1
>例3.2：BCH(31,16)码，可纠正3个随机独立差错，即=3 d2d=2t+1=7 n=31=2m-1,s0m=5 查不可约多项式表可得 m1(x)=(45)8=100101=x5+x2+1 m3(x)=(75)8=111101=x5+x4+x3+x2+1 m5(X)=(67)8=110111=x5+x4+x2+x+1 这样g(x)=LCM[m1(),m3(x),ms(x川 =x15+x11+x10+x9+x8+x7+x5+x3+x2+x+1 2013/4/11 6
2013/4/11 6 例3.2: BCH(31,16)码，可纠正3个随机独立差错，即t=3 d≥d0=2t+1=7 n=31=2m-1, so m=5 查不可约多项式表可得 m1(x)=(45)8=100101=x5+x2+1 m3(x)=(75)8=111101=x5+x4+x3+x2+1 m5(x)=(67)8=110111=x5+x4+x2+x+1 这样 g(x)=LCM[m1(x),m3(x),m5(x)] = x15+x11+x10+x9+x8+x7+x5+x3+x2+x+1