E→i P→>p=-iV (6) at 然后作用于波函数上,就可得到方程(4) 其次,我们进一步考虑在势场U()运动的粒子,按照 经典粒子的能量关系式 E=2 +U(F) 对于上式作替换(6),然后作用于波函数上,即得: o(,)=[ 方 V2+U/(F)v(F,t)(8) 2m 这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律,是量子力学的基本假设之 二、薛定谔方程的讨论 1、要求
t E i → → = − ， p p ˆ i (6) 然后作用于波函数上，就可得到方程(4). 其次，我们进一步考虑在势场 U(r) 中运动的粒子，按照 经典粒子的能量关系式 ( ) 2 2 U r m p E = + (7) 对于上式作替换(6)，然后作用于波函数上，即得： ( )] ( , ) 2 ( , ) [ 2 2 U r r t m r t t i = − + (8) 这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律，是量子力学的基本假设之一。 二、薛定谔方程的讨论 1、要求
(1)、对粒子的所有状态成立,波动方程系数不能含有状 态参量,如X,p,L (2)、必须满足迭加原理,即方程对于其解屮而言是线 性的,当平1,各为其解,则=a坐+bY,也是其解 2、定域的几率守恒 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对 论(低能)情况下,实物粒子(m≠O)没有产生和湮 湮灭的现象,所以在随时间演化的过程中,粒子数目保 持不变(即粒子数守恒) 对于一个粒子来说,在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变,即 (9)
⑴、对粒子的所有状态成立，波动方程系数不能含有状 态参量，如 x, p, L …… 性的，当 ， 各为其解，则 也是其解 、必须满足迭加原理，即方程对于其解 而言是线 1 2 1 b 2 a (2) = + 2、定域的几率守恒 m 0 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对 论（低能）情况下，实物粒子（ ）没有产生和湮 湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保 持不变（即粒子数守恒）。 对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变，即 ( , ) 0 3 2 = − r t d r dt d (9)
下面我们就利用薛定谔方程来证明这个结论 对(8)式取复共轭,(注意到O=⑦)得 m v+U)y ihy=(V (10) 由Y*(8)式-*(10)式,得 h(v)= (yVy-yny at 2 t2 V·(vVv-vVv) 在空间闭区域τ中将上式积分,按髙斯定理,等式右边 积分可化为面积分
下面我们就利用薛定谔方程来证明这个结论。 对(8)式取复共轭，（注意到 U =U * ）得 2 * 2 * ) 2 ( U t m i = − + − (10) 由 * (8)式-(10)式，得 ( ) 2 ( ) * 2 2 * 2 * = − − − t m i ( ) 2 * * 2 = − − m (11) 积分可化为面积分 在空间闭区域中将上式积分，按高斯定理，等式右边
i dv x y as (12) at 其中是表面,如下图 p(7,1)=v(F,)y(F,t) (13) j(r, t) 2n(yvy-yy (y py-ypy 2 (14)
ds m d t i s = − − − ( ) 2 * * 2 * (12) 其中 s 是 的表面，如下图 令： ( , ) ( , ) ( , ) * r t r t r t = (13) ( ) 2 ( , ) * * = − − m i j r t ( ˆ ˆ ) 2 1 * * p p m = − (14)
ρ表示几率密度,j的物理意义见下,于是,(12)式 可写为 xz=-J·ds (15) 上式左边代表:在闭区域Z中找到粒子的总几率(或粒 子数)在单位时间内的增量, 而右边(注意负号)表示:单位时间内通过z的封闭表 面S而流入z的几率(粒子数) 所以:j具有几率流(粒子数)密度的意义,是一个矢量 公式(12)或(15)是几率(粒子数)守恒的积分表示式。而 由(11)式可得其微分表达式: +V·j=0 (16)
可写为 表示几率密度，j的物理意义见下，于是，(12)式 = − s d j ds dt d (15) 上式左边代表：在闭区域 中找到粒子的总几率（或粒 子数）在单位时间内的增量。 而右边（注意负号）表示：单位时间内通过 的封闭表 所以： 具有几率流 粒子数 密度的意义，是一个矢量 面 而流入 内的几率 粒子数 。 j ( ) S ( ) 公式(12)或(15)是几率（粒子数）守恒的积分表示式。而 由(11)式可得其微分表达式： + = 0 j t (16)