§23薛定谔方程 经典力学:已知力F及x0、vo,质点的状态变化由 牛顿运动方程求出 量子力学:微观粒子的运动状态由波函数来描写,状 态随时间的变化遵循着一定的规律 1926年,薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上,提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述徼观粒子的运动规律。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时,以后时刻 粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程,它必 须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程
经典力学：已知力 F 及 x0、v0，质点的状态变化由 牛顿运动方程求出 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻 粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必 须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。 量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律。 §2.3 薛定谔方程
、薛定谔方程的引入 下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调 的是:薛定谔方程是量子力学最基本的方程,其 地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。 实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定 并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确 性,归根结底,只能靠实验来检验 下面,首先讨论自由粒子,其能量与动量的关系是 E 2m m]是粒子质量,按照德布罗意关系,与粒子运动相联系 的波的角频率O和波矢k(网=),由下式给出
一、薛定谔方程的引入 下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调 的是：薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其 地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。 实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定， 并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确 性，归根结底，只能靠实验来检验 下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是 m p E 2 2 = (1) m k 2 k = 和波矢 （ ），由下式给出 是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系 的波的角频率
k 方 或者说,与具有一定能量E和动量的粒子相联 系的是平面单色波 y(r, t ei(k-r-o)=e(p'r-Et)/h 由(3)式可得 E ivy=py 方Vy=pv
E = p ， k = (2) 或者说，与具有一定能量E和动量 的粒子相联 系的是平面单色波。 (r,t) i(k r t) i( p r Et)/ e e − − = ～ (3) 由(3)式可得 E t i = i p − = 2 2 2 p − =
利用(1)式,可以得出 a h (i+ E at 2 2m ihu(r, t) 2m 注意:方程(4)中v(7,t)是一个单色平面波。 而描述自由粒子的一般状态的波函数,具有波包 的形式,即为许多单色平面波的叠加。 v(F,1)=a动)ypp(5) 式中:E 2 ,不难证明
利用(1)式，可以得出 ) 2 ) ( 2 ( 2 2 2 m p E t m i + = − 即： ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t m r t t i = − (4) (r,t) 注意：方程(4)中 是一个单色平面波。 而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包 的形式，即为许多单色平面波的叠加。 (r,t) ＝ p e d p i p r Et ( )/ 3 3/ 2 ( ) (2 ) 1 − (5) 式中： m p E 2 2 = ，不难证明
y at(2Tth 3/2JolpEelpr-n/d V (2m)312 P(pp (p -Et/h a h (i+ at 2m (2 m)3/2]o(p(E-P2 12mle'(Pr-EDnd'p 0 可见,如果v(F,)是波包,仍满足方程(4),所以 方程(4)是自由粒子波函数满足的方程。 值得注意的是:如果在经典的能量动量关系(1)中,作如 下替换:
p Ee d p t i i p r Et ( )/ 3 3/ 2 ( ) (2 ) 1 − = p p e d p i p r Et 2 ( )/ 3 3/ 2 2 2 ( ) (2 ) 1 − − = ∴ p E p m e d p t m i i p r E t 2 ( )/ 3 3/ 2 2 2 ( )( / 2 ) (2 ) 1 ) 2 ( − + = − ＝0 可见，如果 (r,t) 是波包，仍满足方程(4)，所以 方程(4)是自由粒子波函数满足的方程。 值得注意的是：如果在经典的能量动量关系(1)中，作如 下替换：