(n+1) R,(x)= (x-x0)1(在x0与x之间) n+1 拉格朗日形式的余项 R(x-f(t(s n+1 M < n+1 x- 0 n (n+1) 及lim R,(x) =0 X- 即Rn(x)=o(x-x)1皮亚诺形式的余项 f(x)=∑ x-x0)+o(x一x ˇ0 =0
拉格朗日形式的余项 ( ) ( ) 1 0 1 0 ( 1) ( ) 1 ! ( ) 1 ! ( ) ( ) + + + − + − + = n n n n x x n M x x n f R x ( ) [( ) ] ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) k n n k k x x o x x k f x f x = − + − = ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = 皮亚诺形式的余项 0 ( ) ( ) lim 0 0 = → − n n x x x x R x 及 ( ) [( ) ]. 0 n 即 Rn x = o x − x
注意 1.当n=0时,泰勒公式变成拉氏中值公式 f(x)=∫(x)+f(2)x-x)(在x0与x之间) 2.取xn=0 号在0与x之间,令=(0<0<1) 则余项R(x)= ∫(+(a).n+1 (n+1)
注意: 1 . 当n = 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) f x = f x0 + f x − x0 在x0与x之 间 2.取x0 = 0, 在0与x之间,令 = x (0 1) 则余项 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f x R x
四、简单的应用 例1求f(x)=e的阶麦克劳林公式 解∵∫(x)=∫"(x)=…=∫(x) f(0)=f(0)=f(0)=…=f(0)=1 注意到f"(ax)=e"代入公式得 e ex=1+x++…+—+ n+1 (0<6<1) n!(n+1)
四、简单的应用 例 1 求 x f (x) = e 的n 阶麦克劳林公式. 解 ( ) ( ) ( ) , (n) x f x = f x == f x = e (0) (0) (0) (0) 1 ( ) = = = = = n f f f f n x f x e = + ( ) 注意到 ( 1) 代入公式,得 (0 1). 2! ! ( 1)! 1 1 2 + = + + + + + + n n x x x n e n x x e x
麦克劳林( Mac aur in)公式 f(x)=f(0)+r(0x+0x2+…+0x fu(ac) (0<6<1) (n+1)! f(x)=f(0)+f(0)x+ 2px2+…+ +O(x")
( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n O x x n f x f f x f f x + + + = + + (0 1) ( 1)! ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) 1 ( 1) ( ) 2 + + + + = + + + + n n n n x n f x x n f x f f x f f x 麦克劳林(Maclaurin)公式
由公式可知 ex≈1+x++…+ t 估计误差(设x>0) e Rn(x)= (n+Il tet x"+(0<<1) n 取x=1,e≈1+1++…+ 其误差Rn< 3 (n+1)!(n+1)!
由公式可知 2! ! 1 2 n x x e x n x + + ++ 估计误差 (设 x 0) ! 1 2! 1 1, 1 1 n 取x = e + + ++ . ( 1)! 3 + n 其误差 ( + 1)! n e Rn (0 1). ( 1)! ( 1)! ( ) 1 + + = + n x x n x n e n e R x