2.反函数:设已知y是x的函数y=f(x),若将y当作自变量,x当作函数,则由上式所 确定的函数x=9y)叫做f(x)的反函数,而f(x)叫做直接函数。 3.复合函数:设y是z的函数y=f(:),而z又是x的函数x=g(x),设x表示(x)的定 义域或其一部分,若对于x在X上取值时所对应的z值y=f(x)是有定义的,则y=fg(x)] 叫做y=f(x)及z=g(x)复合而成的复合函数。 4.初等函数:由常数和基本初等函数经有限次四则运算和函数复合步骤而成的 2.2主要习题类型 绝对值运箅、解绝对值不等式(路) 2求函数的定义域 「例1]求函数y= arccos i 的定义域 (答案:-3≤x≤1) 3.计算函数值(略) 4.建立函数关系 [例2]等腰梯形ABCD(如图),其两底分別为AD=a和 BC=6(a>b),高为HB=h,引直线MN‖BH,MN与顶点 A的距离AM=x(0≤x≤a).将梯形内位于直线MN之左的 面积S表为x的函数 答案:S=ra+b.(a-x)2 5.函数基本性态的讨论 [例3]证明函数y=log2x+√x2+1)为奇函数 [例4]定义在[0,x]上的函数y=x,试先延拓到[0,2丌使它关于x=丌为对称,然后 再把已延拓到[0,2x]上的函数延拓到整个实轴上使函数成为以2x为周期的函数 例5]建立y=1+2sn2的反函数 答案:y=(1+ arcsin1)/(1- arcsin 6.描绘函数图形 [例6]画出函数y=x+sinx与y=50 x=0的图形 x-1,x<0
§3极限论 31极限论团表 符号:V,(对于)任意的(>0) L()限炝 彐w-存在(或可找)一个N(>0) 匚概念与性质 ) 数列板限 函数极限 无穷大 [无穷小 定义 x>N 0<x-x0|< 0<x-xo<8 0<|x-xl<8 →|f(x)-AH|(M-(z|>N)cM,)-(1x|>N) →|f(x)-A!< <e 命|f(x)!>M →|f(x)|<6 当n>N时,x当0<|x-x<当1x1>N|注,不是很大的数,注不是很小的数 几都在(a-a+时,f(x)的图形在y时,f(x)的图而是一种特定的函而是一种特定的函 何c)内,即都聚集-A+c和y=A-c|形位于y=A|数其极限特征是」数其极限特征是 意{在点a的近旁。所形成的機条区域一和y= A.limf(x)=∞, imf(x)=0 义 ①数列x收②lmf(2)=A,且 ④∫(x)为无穷大 为无穷小;f(x) →有界 >0(或A<0)冷 无界数列→(x)>0(或<0) (≠0)为无穷小→x为无穷大, mf(x)=A且f 发散 ⑤具有极限的函数为等于其极限的常数与 (x)≥0(或≤0)→A 无穷小的和,反之亦然 ≥0(≤0)。 ③lmf(x)存在台 左、右极限存在且相 定理的类化与关系 无穷小 o:是较a的低 mP-{c≠0)1P是较的同阶无 在写避进 [极限运算]「有关 无无即与无穷 为等价无穷小(a~β) 数 C(≠0):日是关于q的k 阶无穷小。 常用之四个等价无穿小 ④⑩ 概限四则运算 12
运。算 无夯小运算 存在准则 等价无穷小性质 [准则I] ⑥有限个无穷小的代数和也是无穷小 ⑩a~d,B~P,im5存在 1)y≤x≤zm ⑦有界函数与无穷小的乘积是无穷小; 数2)1imy.=a 是-lmn2 ⑧常数与无穷小的乘积是无穷小 ⑨有限个无穷小的乘积是无夯小 mz.=a 等价变换) 两个等价无穷小中的任何一个 极限运算 是另一个的主部 1)g(x)≤f(x)≤h(x) (有限个)代表和的极限等于其极限的函2) 代数和 ①〔有限个)乘积的极限等于其极限的乘 limf()=A. ⑩[准则I]单调有界数列x→必 ④常数因子可提到极限号外 个极限。 ④具有极限的西数的正整数次幂的极限 [ Cauchy审做原理]:数列x收 等于其极限的乘幂; 对于任意给定的正数e存在耆 ④两个具有极限的函数的商的极限(分母样的正整数N,使得当m>N,n> 非零)等于其极限的商; 就有|x-xm|<e ④g(x)≥y(x),imgx)=a,limψ(x)=b [两个重要极限 1.直接代入法 2.恒等变形法; 3.准则判别法; 4.等价变换法 2)lm(1+)*=e L. Hospital法飓 (见(W)图) (lin(1+x)÷=c)
3.2主要习题类型 1.求数列极限与函数极限 (1)直接代入法(x→x型)x在初等函数的定义域内 (2)恒等变型法 a,约简分式 [例1]求lm21(令x=r") (答案:ps/qr) b.同除法 例2]求 (答案:-1) c.有理化分子或分母 [例3]求lim(√x2+x+1-√x2-x+1) (答案:1) d.利用数列公式或变换 [例4]求im(+ 15 +≈十…十 答案:t) e.利用三角公式或变换 例5]求lim( cosco…cosx) (答案:5x (3)准则判别法 a.利用“两边夹准则” 例6求(m+2+“+ (答案:1 b.利用“单调有界数列必有极限” 例7]求数列xn=V1+√1+…+√1 (答案:1+√6、 (4)利用基本极限法 利用 n. [例8]求lm(1-z)+g(令x=1-z) (答案:2) b.利用“im(1+x)=lim(1+÷)2 [例9]求imtg"(+) 答案:e C.利用“lm1(x1+x2+…+xn)=limx,”和“lim√x1x2…xn= limx x(xn>0)” 例10]求极限imn (答案:e) (5)利用等价变换法 [例11求lm 答案:-2) (6)利用罗彼塔法则 型:可直接用法则
sIn nit de 例12]求 (答案:12) b.“∞-∞“0,∞”型:将其化为或≌型 [例13]求in g2x)(∞-∞型) 2 (答案:) c.“1”“∞”“0”型:取对数化为b然后再化为或。型 [例14]求lm{2+1 (答案:e) (7)利用泰勒展开式 [例15]求 (答案 (8)利用定积分和式极限法 [例16】求极限ln1+2+;1(a>0) (答案 2.证明数列极限与函数极限 [例18]按定义证明数列7× [例17]若li 试证li 3 3.证明无穷大(小)量且求x之条 23+…+=S。为无穷大量 4.判别无穷小量之比的类型 [例19]当x→0时,试决定下列各无穷小对于x的阶数: (a)yx2-√x(x>0);(b)√a+x3-√a(a>0);(c)1-cosx;(d)x+sinx 答案:(a)为阶;(b)为3阶;(c)为2阶:(d)为1阶) 5.应用问题 [例20]分长为a的线段AB为n等分,在每小段上做中心角为的圆弧,这些圆弧组成 曲线(如图(a)),试求:n→∞时所得曲线上的极限;若在每个小段上做半圆弧(如图(b),则 结果如何?