定理4.5.1如果拓扑空间X是一 个道路连通空间，则X必然是一个连 通空间. 证明：对任意x,y∈X,由于X是道路 连通空间，故存在一条从x到y的道 路f:[0,1]→X,易知f(0,1])是X的 连通子集，且包含x,y,故X是连 通空间
定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] → 定理4.5.1 如果拓扑空间 X 是一 个道路连通空间，则X 必然是一个连 通空间. 证明: 对任意x, y∈X ，由于X 是道路 连通空间，故存在一条从x到y 的 道 路 ，易知 f ([0,1])是X 的 连通子集，且包含x, y ， 故X是 连 通空间. f X :[0,1] →
注：连通空间可以不是道路连通空间 1 -1 S={(x,sin)川x∈(0,1]} T=0}×[-1,1] S=SUT
注: 连通空间可以不是道路连通空间 1 {( ,sin ) | (0,1]} x S x x = T = − {0} [ 1,1] 1 S S T =
我们只需证明对于S,上的一道路f的 起点f(0)∈T,则f([0,1)cT,从而T 中的点不能与S中的点用道路连结. 令A=f(T),它是I的非空闭集，对 任意t∈A有f()∈T,对于f()的任意 邻域U,易知存在t的一个连通邻域 W,使得f(W)cU,必有f(W)cT, 故WcA,所以A是开集
1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集. 1 S f T ([0,1]) 1 A f T( ) − = f W U ( ) f W T ( ) W A 我们只需证明对于 上的一道路 f 的 起点 f (0)∈T ,则 , 从而T 中的点不能与S 中的点用道路连结. 令 ，它是I 的非空闭集, 对 任意t∈A 有 f (t) ∈T ,对于 f (t)的任意 邻域U ，易知存在t 的一个连通邻域 W ，使得 ，必有 , 故 ，所以A 是开集
从而A是[0，]的既开又闭的非空子 集，由[0,1]连通知必有A=[0,1]， 因此∫(A)cT,从而T中的点与S 中的点不能用道路连结.故S,不是 道路连通空间
从而A 是 [0,1] 的既开又闭的非空子 集，由 [0,1] 连通知必有A =[0,1]， 因此 , 从而 T 中的点与 S 中的点不能用道路连结. 故 不是 道路连通空间. f A T ( ) 1 S 从而A 是 [0,1] 的既开又闭的非空子 集，由 [0,1] 连通知必有A =[0,1]， 因此 , 从而 T 中的点与 S 中的点不能用道路连结. 故 不是 道路连通空间. f A T ( ) 1 S 从而A 是 [0,1] 的既开又闭的非空子 集，由 [0,1] 连通知必有A =[0,1]， 因此 , 从而 T 中的点与 S 中的点不能用道路连结. 故 不是 道路连通空间. f A T ( ) 1 S 从而A 是 [0,1] 的既开又闭的非空子 集，由 [0,1] 连通知必有A =[0,1]， 因此 , 从而 T 中的点与 S 中的点不能用道路连结. 故 不是 道路连通空间. f A T ( ) 1 S 从而A 是 [0,1] 的既开又闭的非空子 集，由 [0,1] 连通知必有A =[0,1]， 因此 , 从而 T 中的点与 S 中的点不能用道路连结. 故 不是 道路连通空间. f A T ( ) 1 S 从而A 是 [0,1] 的既开又闭的非空子 集，由 [0,1] 连通知必有A =[0,1]， 因此 , 从而 T 中的点与 S 中的点不能用道路连结. 故 不是 道路连通空间. f A T ( ) 1 S 从而A 是 [0,1] 的既开又闭的非空子 集，由 [0,1] 连通知必有A =[0,1]， 因此 , 从而 T 中的点与 S 中的点不能用道路连结. 故 不是 道路连通空间. f A T ( ) 1 S 从而A 是 [0,1] 的既开又闭的非空子 集，由 [0,1] 连通知必有A =[0,1]， 因此 , 从而 T 中的点与 S 中的点不能用道路连结. 故 不是 道路连通空间. f A T ( ) 1 S
注：道路连通与局部连通之间没有 必然的蕴涵关系 例离散空间都是局部连通空间，而 不少于两点的离散空间不是连通空 间，因而也不是道路连通空间： 道路连通空间也不一定是局部连通 空间
注: 道路连通与局部连通之间没有 必然的蕴涵关系 例 离散空间都是局部连通空间，而 不少于两点的离散空间不是连通空 间，因而也不是道路连通空间. 道路连通空间也不一定是局部连通 空间. 注: 道路连通与局部连通之间没有 必然的蕴涵关系 例 离散空间都是局部连通空间，而 不少于两点的离散空间不是连通空 间，因而也不是道路连通空间. 道路连通空间也不一定是局部连通 空间. 注: 道路连通与局部连通之间没有 必然的蕴涵关系 例 离散空间都是局部连通空间，而 不少于两点的离散空间不是连通空 间，因而也不是道路连通空间. 道路连通空间也不一定是局部连通 空间. 注: 道路连通与局部连通之间没有 必然的蕴涵关系 例 离散空间都是局部连通空间，而 不少于两点的离散空间不是连通空 间，因而也不是道路连通空间. 道路连通空间也不一定是局部连通 空间. 注: 道路连通与局部连通之间没有 必然的蕴涵关系 例 离散空间都是局部连通空间，而 不少于两点的离散空间不是连通空 间，因而也不是道路连通空间. 道路连通空间也不一定是局部连通 空间. 注: 道路连通与局部连通之间没有 必然的蕴涵关系 例 离散空间都是局部连通空间，而 不少于两点的离散空间不是连通空 间，因而也不是道路连通空间. 道路连通空间也不一定是局部连通 空间. 注: 道路连通与局部连通之间没有 必然的蕴涵关系 例 离散空间都是局部连通空间，而 不少于两点的离散空间不是连通空 间，因而也不是道路连通空间. 道路连通空间也不一定是局部连通 空间