1.7概率与频率 设A是试验S的事件.在相同的条件下将试验S独立地重复N次 我们称 =N次试验中A发生的次数 是N次独立重复试验中,事件A发生的频率( (frequency). ·理论和试验都证明,当N→∞,∫N会收敛到一个数P(A).我们称 P(A)为事件A在试验S下发生的概率,简称为A的概率 ·( Flash
1.7 概率与频率 31 • 设 A 是试验 S 的事件. 在相同的条件下将试验 S 独立地重复 N 次, 我们称 fN = N次试验中 A 发生的次数 N 是 N 次独立重复试验中, 事件 A 发生的频率 (frequency). • 理论和试验都证明, 当 N → ∞, fN 会收敛到一个数 P(A). 我们称 P(A) 为事件 A 在试验 S 下发生的概率, 简称为 A 的概率. • (Flash 演示)
第一章古典概型和概率空间
32 第一章 古典概型和概率空间
第二章随机变量和概率分布 2.1随机变量 随机变量——引入 ·事件是用来描述随机试验的某些现象是否出现的,要说明比较复杂的 试验结果,就需要定义许多事件 为了更深入地研究随机现象,就要建立数学模型,随机变量是随机现 象的最基本的数学模型,我们用随机变量的值表示随机试验的结果 如果用X表示明天的最高气温,{X≤30}就表示明天的最高气温不 超过30C,由于X的取值在今天无法确定,所以称X是随机变量 例11:骰子点数 例1.1掷一个骰子,样本空间是 9={u|u=1,2,…,6} ·用X表示掷出的点数,称X是随机变量 ·{X≤3}表示掷出的点数不超过3,并且 是事件 将X视为Ω上的函数, ∈Ω {X≤办}={u|w=1,2,……,j} 是事件
第二章 随机变量和概率分布 2.1 随机变量 随机变量——引入 • 事件是用来描述随机试验的某些现象是否出现的, 要说明比较复杂的 试验结果, 就需要定义许多事件. • 为了更深入地研究随机现象, 就要建立数学模型，随机变量是随机现 象的最基本的数学模型，我们用随机变量的值表示随机试验的结果。 • 如果用 X 表示明天的最高气温, {X ≤ 30} 就表示明天的最高气温不 超过 30oC, 由于 X 的取值在今天无法确定, 所以称 X 是随机变量 (random variable). 例 1.1: 骰子点数 • 例 1.1 掷一个骰子, 样本空间是 Ω = { ω | ω = 1, 2, · · · , 6 }. • 用 X 表示掷出的点数, 称 X 是随机变量. • {X ≤ 3} 表示掷出的点数不超过 3, 并且 {X ≤ 3} = { ω | ω = 1, 2, 3} 是事件。 • 将 X 视为 Ω 上的函数, X(ω) = ω, ω ∈ Ω, 则 {X ≤ j} = {ω | ω = 1, 2, · · · , j}. 是事件。 33
第二章随机变量和概率分布 例12:扑克牌点数 例12在一副扑克的52张中任取一张,样本空间的每个点表示 张扑克 用X表示所取扑克的大小,则X=3表示所取到的扑克是3 将X视为样本空间上的函数,则 X=3}≡{ω|X(ω)=3}={草花3,黑桃3,红桃3,方块3} 是事件 我们称X是随机变量 随机变量定义 定义(随机变量)X是定义在样本空间Ω上的实值函数:对每一个 样本点ω,X(u)是一个实数 ·(更严格的数学定义还要求关于X落入区间是事件)。 通常将随机变量X(u)简记为X ·在概率论和数理统计学中,人们习惯用大写的X,Y,Z,ξ,η等表示随 机变量不够时还可以用X1,X2,…等表示 随机变量的事件 ·我们用{X≤x},或更简单地用X≤x表示事件 {u|X(a)≤x} ·对于实数的集合A,我们用{X∈A},或更简单地用X∈A表示事件 {u|X(u)∈A} 于是 {X∈A}={u|x(u)∈A}, {a<X≤b}={u|a<X(u)≤b} 注:这里和以后所述的数集都是高等数学中的实数的(可测)集合,并 且对数集A,承认{X∈A}是事件
34 第二章 随机变量和概率分布 例 1.2: 扑克牌点数 • 例 1.2 在一副扑克的 52 张中任取一张, 样本空间的每个点表示一 张扑克. • 用 X 表示所取扑克的大小, 则 X = 3 表示所取到的扑克是 3. • 将 X 视为样本空间上的函数, 则 {X = 3} ≡ { ω | X(ω) = 3 } = { 草花 3, 黑桃 3, 红桃 3, 方块 3 }. 是事件。 • 我们称 X 是随机变量. 随机变量定义 • 定义 (随机变量) X 是定义在样本空间 Ω 上的实值函数: 对每一个 样本点 ω, X(ω) 是一个实数. • (更严格的数学定义还要求关于 X 落入区间是事件)。 • 通常将随机变量 X(ω) 简记为 X. • 在概率论和数理统计学中, 人们习惯用大写的 X, Y , Z, ξ, η 等表示随 机变量. 不够时还可以用 X1, X2, · · · 等表示. 随机变量的事件 • 我们用 {X ≤ x}, 或更简单地用 X ≤ x 表示事件 { ω | X(ω) ≤ x} . • 对于实数的集合 A, 我们用 {X ∈ A}, 或更简单地用 X ∈ A 表示事件 {ω | X(ω) ∈ A}. • 于是 {X ∈ A} ={ω | X(ω) ∈ A}, {a < X ≤ b} ={ω | a < X(ω) ≤ b}. • 注: 这里和以后所述的数集都是高等数学中的实数的 (可测) 集合, 并 且对数集 A, 承认 {X ∈ A} 是事件
2.2离散型随机变量 例1.3,1.4:随机变量的函数 例13掷一个骰子,用X表示掷出的点数,则X,X2,X+√X都 是样本空间上的函数,因而都是随机变量 ·例1.4掷n个骰子,用Y表示掷出的点数之和,则Y是随机变量 对函数g(x),X=9(Y)也是随机变量,因为X(u)=9(Y(u)也是样 本空间Ω上的函数 例1.5:随机变量与概率 ·例1.5在52张扑克中任取13张,求这13张牌中恰有5张草花的概 解用X表示这13张牌中草花的张数,则X=5是关心的事件,容 易得到 PX=5)2C13C=01247 注:在许多实际问题中,一个随机变量X的含义是十分清楚的,所 以一般不再关心随机变量X在样本空间Ω上是如何定义的.可以认 为X的所有取值就是我们的样本空间。只是在必要的时候才将自变 元写出来 2.2离散型随机变量 离散型随机变量 ·有些变量只能取有限个或可列个值,比如,被访问者的性别、年龄、职 业,一批产品中次品个数,一个医学试样中白细胞个数,掷两个骰子 第一次得到12点的时间,等等。 另外的变量可以取到区间内任何值,比如温度、气压、长度、时间等 测量值。 定义2.1如果随机变量X只取有限个值x1,x2,…,xn,或可列个值 r1,x2,…,就称ⅹ是离散型随机变量,简称为离散随机变量( discrete andon varlable ·以下就X取可列个值的情况加以表述,对于X取有限个值的情况可 类似的表述
2.2 离散型随机变量 35 例 1.3,1.4: 随机变量的函数 • 例 1.3 掷一个骰子, 用 X 表示掷出的点数, 则 X, X2 , X + √ X 都 是样本空间上的函数, 因而都是随机变量. • 例 1.4 掷 n 个骰子, 用 Y 表示掷出的点数之和, 则 Y 是随机变量. 对函数 g(x), X = g(Y ) 也是随机变量, 因为 X(ω) = g(Y (ω)) 也是样 本空间 Ω 上的函数. 例 1.5: 随机变量与概率 • 例 1.5 在 52 张扑克中任取 13 张, 求这 13 张牌中恰有 5 张草花的概 率. • 解 用 X 表示这 13 张牌中草花的张数, 则 X = 5 是关心的事件, 容 易得到 P(X = 5) = C 5 13 C 8 39 C13 52 = 0.1247. • 注: 在许多实际问题中, 一个随机变量 X 的含义是十分清楚的, 所 以一般不再关心随机变量 X 在样本空间 Ω 上是如何定义的. 可以认 为 X 的所有取值就是我们的样本空间。只是在必要的时候才将自变 元 ω 写出来. 2.2 离散型随机变量 离散型随机变量 • 有些变量只能取有限个或可列个值，比如，被访问者的性别、年龄、职 业，一批产品中次品个数，一个医学试样中白细胞个数，掷两个骰子 第一次得到 12 点的时间，等等。 • 另外的变量可以取到区间内任何值，比如温度、气压、长度、时间等 测量值。 • 定义 2.1 如果随机变量 X 只取有限个值 x1, x2, · · · , xn, 或可列个值 x1, x2, · · · , 就称 X 是离散型随机变量, 简称为离散随机变量 (discrete random variable). • 以下就 X 取可列个值的情况加以表述, 对于 X 取有限个值的情况可 类似的表述