免费下载网址http://jiaoxue5uysl68com/ 第十七章实数回顾与反思 〖教学目标〗 (一)知识目标 1用对比的方法复习概念 2.熟练实数的运算 (二)能力目标 引导学生梳理和归纳本章内容,把本章的学习内容纳入学生自己的知识体系 2.通过典型问题的分析,对重点知识有进一步的认识 (三)情感目标 通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率的研究成果,对学生进行爱国主义教育 〖教学重点〗 无理数、实数概念的理解 实数的运算 〖教学难点〗 无理数的概念的理解 〖教学过程〗 、课前布置 1.阅读P121P122回顾与反思,自己尝试着归纳本章的内容.整理出本章的难点、重点,找出自己的疑点 盲点,出错点 2.查阅“圆周率π”有关资料 圆周率π趣闻 在日常生活中,人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的,茶杯口是圆的,天上的月亮看 起来也是圆的,圆的周长与直径之比是一个常数,这个常数就是 当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道:“π这个数渗透了整个数学!”有的数学 家甚至说:“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗 中华民族历史上对圆周率π的研究,有着卓越的成就,曾一度领先于世。 根据历史学家的考证,早在夏代以前原始部落时期,我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的算 书《周髀算经》(公元前2世纪)里,已经指岀了“圆径一而周三”(即π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 第十七章 实数 回顾与反思 〖教学目标〗 （－）知识目标 1 用对比的方法复习概念 2.熟练实数的运算 （二）能力目标 1．引导学生梳理和归纳本章内容，把本章的学习内容纳入学生自己的知识体系 2.通过典型问题的分析，对重点知识有进一步的认识. （三）情感目标 通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率π的研究成果,对学生进行爱国主义教育. 〖教学重点〗 1． 无理数、实数 概念的理解 2． 实数的运算 〖教学难点〗 无理数的概念的理解 〖教学过程〗 一、课前布置 1.阅读 P121~P122 回顾与反思，自己尝试着归纳本章的内容. 整理出本章的难点、重点，找出自己的疑点， 盲点，出错点. 2.查阅“圆周率 π”有关资料 圆周率 π 趣闻 在日常生活中，人们经常与 π 打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看 起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是 π。 当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π 这个数渗透了整个数学！”有的数学 家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗 帜。” 中华民族历史上对圆周率 π 的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。 根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的算 书《周髀算经》(公元前 2 世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即 π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公
免费下载网址http://jiaoxue5uysl68com/ 元前50-23年)制定度量的新标准,根据推算,他所用的圆周率有3.1547,3.1992,3.1498,3.2031等几 个值,而没有统一的标准,但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元78-139年)认为丌 3.1623, 比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早500年。 三国魏景元四年(公元263年),数学家刘徽在整理《九章算术》一书时,提出了“割圆术”。他从圆 内接六边形算边,令边数一倍一倍地增加,逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十 六边形、一百九十二边形周长与直径的比值,得到了π的近似值为3.14。他还特别声明:“此率尚微少” 意思是这只是π的不足近似值。 刘徽对π的推算,是对人类的一大贡献。后人为了纪念他,就把π=3.14这个数值叫做“徽率” 到了南北朝,伟大的数学家祖冲之(公元426-500年)对π的推算,达到了空前的高峰,他算出 3.1415926<π<3.1415927。 在世界上,计算圆周率精确到小数点后七位的,祖冲之是第一人,后人称之为“祖率” “祖率”这个纪录保持了近一千年,后才被16世纪的阿尔卡西(A1—— Kashi)打破。祖冲之还同时得 出了的分数形式的近似值:约率是2,密度是35 这两个分数,是分母小于7和113的一切分数 113 中,最接近π值的最佳分数,德国人奥托( Valentius otto)在1573年才获得这个值 在现在,利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位了。 π是一个什么样的数呢? π是一个无限不循环的小数。也就是说,π是一个无理数 法国数学家勒让德( Legendre,1752-1833)曾猜测说:“π不是有理系数方程的根”。后来,人们把 有理系数方程的根称为代数数,不是代数数的叫做超越数。这样,所有的有理数和一部分无理数是代数数 勒让德的猜测实际上说π是一个超越数。 在高等数学里,抽象地证明超越数的存在性,并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数,例如r 和e是超越数,在历史上是一件十分困难的事情。 e=2.718…,也是一个无理数,常用来作为对数的底数,这种对数称为自然对数。1873年,法国数学 家埃尔米特( Hermite,l822-1901)给出了e是超越数的证明,但他认为证明π的超越性更为困难。他在 给友人的信中写道:“我不敢试着证明π的超越性。如果其他人承担这项工作,对于他们的成功没有比 我更高兴的人了。但请相信我,我亲爱的朋友,这决不会不使他们花去一些力气。”1882年,英国数学家 林德曼(F. Lindeman,1852-1939)证明了π是超越的,从而解决了一些几何作图问题, 关于π,有许多形式美观、俊俏的公式,例如 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 元前 50-23 年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有 3.1547，3.1992，3.1498，3.2031 等几 个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元 78-139 年)认为 π= 10 =3.1623， 比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早 500 年。 三国魏景元四年(公元 263 年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时，提出了“割圆术”。他从圆 内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十 六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了 π 的近似值为 3.14。他还特别声明：“此率尚微少”， 意思是这只是 π 的不足近似值。 刘徽对 π 的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把 π=3.14 这个数值叫做“徽率”。 到了南北朝，伟大的数学家祖冲之(公元 426-500 年)对 π 的推算，达到了空前的高峰，他算出 3.1415926＜π＜3.1415927。 在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人，后人称之为“祖率”。 “祖率”这个纪录保持了近一千年，后才被 16 世纪的阿尔卡西(Al——Kashi)打破。祖冲之还同时得 出了 π 的分数形式的近似值：约率是 22 7 ，密度是 335 113 。这两个分数，是分母小于 7 和 113 的一切分数 中，最接近 π 值的最佳分数，德国人奥托(Valentius Otto)在 1573 年才获得这个值。 在现在，利用计算机已经把 π 的值算到了小数点后几十万位了。 π 是一个什么样的数呢？ π 是一个无限不循环的小数。也就是说，π 是一个无理数。 法国数学家勒让德(Legendre，1752-1833)曾猜测说：“π 不是有理系数方程的根”。后来，人们把 有理系数方程的根称为代数数，不是代数数的叫做超越数。这样，所有的有理数和一部分无理数是代数数。 勒让德的猜测实际上说 π 是一个超越数。 在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数，例如 π 和 e 是超越数，在历史上是一件十分困难的事情。 e=2.718…，也是一个无理数，常用来作为对数的底数，这种对数称为自然对数。1873 年，法国数学 家埃尔米特(Hermite，1822-1901)给出了 e 是超越数的证明，但他认为证明 π 的超越性更为困难。他在 给友人的信中写道：“我不敢试着证明 π 的超越性。如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比 我更高兴的人了。但请相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。”1882 年，英国数学家 林德曼(F.Lindemann，1852-1939)证明了 π 是超越的，从而解决了一些几何作图问题。 关于 π，有许多形式美观、俊俏的公式，例如
免费下载网址http://jiaoxue5uysl68com/ 6=1+22+32 特别值得一提的是,当代著名的数论专家 Atle selberg(1917-)曾经说,他喜欢数学的一个动机,是 以下公式 4=1-3+5-7+9+……大家看,这个公式多美呀! π=3.1415926…又是一个神秘的数字。 有人发现,π的前1位小数、前3位小数、前7位小数和分别是前1个自然数、前3个自然数、前7 个自然数之和。 1+4+1=1+2+3=6 1+4+1+5+9+2+6=1+2+3+4+5+6+7=28。 这真是惊人的巧合! 的前6个有效数字314159是一个素数,也是一个逆素数(倒过来读951413也是一个素数)。314159 的补数是796951(互为补数是指两个数的对应数位上的数字之和等于10),它也是一个素数! 有趣的是,把前6个有效数字分成三个两位数:31、41、59,这三个数都是孪生素数中的一个(孪生 素数是指相差为2的两个素数):29与31,41与43,59与61是三对孪生素数 深入研究,还会发现一些奇特的现象。例如,π的小数点后从13位数字开始,连续的十八个数字具 有相当的对称性 3191926535994648895 其中79,32,38是关于26对称的 79,32,38这三个数的所有数字之和7+9+3+2+3+8=32.32是一个很特殊的数,一系列现象可以与它联 系起来:水在华氏32°结冰,水晶体分32类,人的牙齿有32颗,32个电子可充满原子的第四级轨道, 基本粒子有32种长命粒子,…… 这又是惊人的巧合! 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com π=2· 2 2 · 2 2 2 + · 2 2 2 2 + + …； 4 = + + + + + + 2 81 2 49 2 25 2 9 2 1 1 6 2 =1+ 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 +…… 特别值得一提的是，当代著名的数论专家 Atle Selberg(1917-)曾经说，他喜欢数学的一个动机，是 以下公式： 4 =1- 3 1 + 5 1 － 7 1 + 9 1 +…… 大家看，这个公式多美呀！ π=3.1415926…又是一个神秘的数字。 有人发现，π 的前 1 位小数、前 3 位小数、前 7 位小数和分别是前 1 个自然数、前 3 个自然数、前 7 个自然数之和。 1=1； 1+4+1=1+2+3=6 1+4+1+5+9+2+6=1+2+3+4+5+6+7=28。 这真是惊人的巧合！ π 的前 6 个有效数字 314159 是一个素数，也是一个逆素数(倒过来读 951413 也是一个素数)。314159 的补数是 796951(互为补数是指两个数的对应数位上的数字之和等于 10)，它也是一个素数！ 有趣的是，把前 6 个有效数字分成三个两位数：31、41、59，这三个数都是孪生素数中的一个(孪生 素数是指相差为 2 的两个素数)：29 与 31，41 与 43，59 与 61 是三对孪生素数。 深入研究，还会发现一些奇特的现象。例如，π 的小数点后从 13 位数字开始，连续的十八个数字具 有相当的对称性： 其中 79，32，38 是关于 26 对称的。 79，32，38 这三个数的所有数字之和 7+9+3+2+3+8=32.32 是一个很特殊的数，一系列现象可以与它联 系起来：水在华氏 32°结冰，水晶体分 32 类，人的牙齿有 32 颗，32 个电子可充满原子的第四级轨道， 基本粒子有 32 种长命粒子，…… 这又是惊人的巧合！
免费下载网址http://jiaoxue5uysl68com/ 更有趣的是,π的小数点后一百个数字: π=3.1415926535897932384626433832795028841971 6939931510582097494459230781640628620899 86280348253421170679 有人把它谱成了曲子,演奏起来还蛮悠扬动听呢! 二、教学过程 典型例题(鼓励学生讲解教师提供的例题.例题的设置是分层的,安排不同基础的学生尝试讲解,教师予 以补充) (一)无理数、实数概念的理解(概念:平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数) 1.下列各数0456、(-z)、314、080108、√27、0.01000104、0451452453454 其中无理数的个数是 个长方形的长与宽分别时6、3,它的对角线的长可能是 A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数 3.下列说法中不正确的是 A.-1的立方是-1,-1的平方是1 B.两个有理之间必定存在着无数个无理数 C.在1和2之间的有理数有无数个,但无理数却没有. D.如果x2=6,则x一定不是有理数. 4.下列语句中正确的是 A.任意算术平方根是正数 B.只有正数才有算术平方根 C.因为3的平方是9,所以9的平方根是3D.-1是1的平方根 的绝对值等于() 2 解:1.D2.D3.C 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 更有趣的是，π 的小数点后一百个数字： π=3.1415926535897932384626433832795028841971 6939931510582097494459230781640628620899 86280348253421170679… 有人把它谱成了曲子，演奏起来还蛮悠扬动听呢！ 二、教学过程 典型例题（鼓励学生讲解教师提供的例题.例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予 以补充） (一)无理数、实数概念的理解（概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数） 1．下列各数 0.456 、 2 3 、 0 (−) 、3.14、0.80108、 27 、0.1010010001、 4 、0.451452453454, 其中无理数的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．一个长方形的长与宽分别时 6、3，它的对角线的长可能是 ( ) A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数 3.下列说法中不正确的是 ( ) A. −1 的立方是 −1， −1 的平方是 1. B. 两个有理之间必定存在着无数个无理数. C.在 1 和 2 之间的有理数有无数个，但无理数却没有. D. 如果 6 2 x = ，则 x 一定不是有理数. 4. 下列语句中正确的是 （ ） A. 任意算术平方根是正数 B. 只有正数才有算术平方根 C. 因为 3 的平方是 9，所以 9 的平方根是 3 D. −1 是 1 的平方根 5. 1 2 − 的绝对值等于（ ） A． 2 B． − 2 C． 2 2 D． 2 2 − 解： 1.Ｄ 2.Ｄ 3. C 4.D 5.C
免费下载网址http://jiaoxue5uysl68com/ (二)实数的运算 设√=a,3=b,用含ab的式子表示√54,则下列表示正确的是() A.0.1ab3 b. 3ab C. 0.3ab D. lab 2.有一个数值转换器,原来如下:当输入的x为64时,输出的y是( 给入],一取算术平方根是无理数输出 是有理数 B.2 D.3√2 (06枣庄)下列计算正确的是() C.(2-√5(2 4.可以借助计算器探究下列几道题的计算结果, +3、√44+3443344433 则144…442+33…332= V20个4 2008个3 5.如图面积为30cm2的正方形的四个角是面积为2cm2的小正方形,现将四个角剪掉以后,制作成一个无盖 的长方体,求这个长方体的底面边长和高分别是多少?(精确到0.1cm) ,,,,,,,, 2008个5 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 取算术平方根 输出 y 是有理数 输入 x 是无理数 (二)实数的运算 1.设 2 = a， 3 = b ，用含 a b ， 的式子表示 0.54 ，则下列表示正确的是（ ） Ａ． 3 0.1ab Ｂ． 3ab Ｃ． 0.3ab Ｄ． 3 0.1a b 2.有一个数值转换器，原来如下：当输入的 x 为 64 时，输出的 y 是（ ） A.8 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 2 3．(06枣庄)下列计算正确的是( ) A . 8 2 2 − = B. 27 12 9 4 1 3 − = − = C. (2 5)(2 5) 1 − + = D. 6 2 3 2 2 − = 4. 可以借助计算器探究下列几道题的计算结果， 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 , 44 +33 , 444 333 , 4444 3333 + + + ，…… 则 + = 2 2008 3 2 2008 4 44 44 33 33 个 个 ___________ 5.如图面积为 30cm2 的正方形的四个角是面积为 2cm2 的小正方形，现将四个角剪掉以后，制作成一个无盖 的长方体，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到 0.1cm） 解：1.Ａ 2. B 3. A 4. 2008 5 55 55 个