16第1章差分方程1.5蛛网模型要举例说明上一节归纳的方法，一种有趣的方式是考虑传统妹网模型的随机形式。由于模型原用于解释农产品价格的变动，可将农产品如小麦的市场供求状况表示成(1.35)>0d, =a-yp(1.36)s =+p,+β>0(1,37)s, = d,其中：d，为期的小麦需求；s.为1期的小麦供给；P.为t期的小麦市场价格；p’为农户预期的t期价格；8，为均值为零的供给的随机冲击；参数a,b,和β都为正，且a>b。模型的经济理论含义是：在市场出清价为P，时，消费者能够买到愿意购买的任一数量的小麦。但在播种期，农户并不知道收获期的市场价格，他们是在预期价格为18B（p.）的基础上决定生产的，而实际产量则取决于计划产量6+p，加上生产的随机变动&.。当产品收获时，要实现市场均衡，供给量应等于需求量。不像现实中的小麦市场，该模型忽略了短缺的可能性。妹网模型的核心就是农户以一种简单的方式形成预期，假设农户将上年价格作为预期的市场价格(1.38)p, = Pr-1图1.3中的E点表示价格和数量组合达到长期均衡。注意，该随机模型的均衡概念与传统的蛛网模型不同。如果该系统是稳定的，则连续性价格趋于向E点收敛，但是，随机均衡的特点是经常存在的对供给的冲击使得系统不能保持在E点。但是，我们可以求出长期价格。假设我们令序列1e,的所有值均等于0，且P,=P,-1==p，令供求相等，求得长期均衡价格为p=（a-b)/(+β)。同样，求出均衡产量(s)为s=(aβ +yb)/(+β)。为理解该系统的动态变化，假设农户在1期计划生产均衡数量s。但是，假设供给变动为负，使得实际产量为s。正如图1.3中点1所示，消费者愿意按价格P，购买s，单位的小麦，因此，t期的市场均衡出现在点1。推进1期以便找出蛛网模型的主要结论，为简便起见，假设供给变动以后的取值均为0（即6+1=8.+2=*=0)。在t+1期初，农户预计收获期的价格为上一期的价格，于是，P.+1=P。相应地，他们生产并销售的数量为s+1（如图1.3中点2所示）。然而，当且仅当价格降到P.+1（如图1.3
1.5蛛网模型17中点3所示时，消费者愿意购买的数量才为s+1。下一期初，农户预期的价格如点4所示，这一过程持续重复，直到回到均衡点E。价格PP(+1S18r+1数量图1.3蛛网模型19如图1.3所示，市场总会向长期均衡点收敛，但这一结论并不适用于所有的供求曲线。为推出稳定性条件，联立式（1.35）至（1.38），得到b + βp-i + s, = a-YPe或(1.39)P,= (-B/y)pr-- +(α-b)/-8/y显然，式（1.39）为含常系数的随机1阶线性差分方程。为得到通解，继续遵照上一节末所列的四个步骤：1.建立齐次方程p,=（-β/)p-10在下一节，我们将学习如何求解齐次方程。现在，足以证明齐次解为p, = A(- β/)t其中A为任意常数。2.如果比率β/小于1，我们可以将式（1.39）从P.往后选代，证明价格的特解为P =ab-l)(1. 40)(-B/%)'s..如果β/≥1，则式（1.40）的无限求和是非收敛的。正如上一节所讨论的，如果B/≥1，有必要对式（1.40）施加初始条件。3.通解为齐次解和特解之和，合并这两个解，可得到通解为P. =36.15(-β/y)'et-, +A(-β/)*(1.41)+BY台
18第1章差分方程4.在式（1.41）中，如果我们已知某期期初的价格，则可去掉任意常数A。为方便起见，令首期的时间下标取值为0。由于解适用于每一一期，包括0期，则有Po=-(-B/)s- + A(- B/)+β由于（-β/）°=1,可得A值为a-b+12(-βB/)8--A=Po-+20将A的这一解代回式（1.41），得到P. -$-8-↓2(-β/)s. ++B(-)[-+(-B ]简化这两个和式，得到P-(-B/)+(-)[n-(1.42)+Y+8图1.3可以用来解释式（1.42）。为集中讨论系统的稳定性，暂时假设序列1e，的所有值均为零。因此，我们应当重新考虑供给变动的影响。如果系统从长期均衡开始，初始条件为po=（a-b)/(+β）。这样，考察式（1.42），得到p.=（a-b)/（+β）。因此，如果我们从E点开始这一过程，系统就将保持在长期均衡处。反之，如果从低于长期均衡的价格开始：P。<（a-6)/(+β)，式(1.42)告诉我们(1.43)P, = (a-b)/(+β) +[po -(a-b)/(+β)](-β/)由于p（α-b)/(+β），-β/<0,则p,高于长期均衡价（a-b)/+）。在第2期P, = (a- b)/(+β) +[po -(α -b)/( +β)](-B/)尽管P<（a-b)/(+β），但（-β/）为正，因此，Pz将低于长期均衡价。在以后各期，取个数，（-β/）为正，t取奇数，（-β/）为负。正如我们从图1.3中所看到的，序列1P，的连续取值将围绕长期均衡价上下波动。若β<，则（B/）趋于0,若β>，则（β/）递增，因此β/的大小决定了价格是否向长期均衡收敛。如果β/<1，波动将逐渐减小,如果β/>1，波动将逐渐增大。这一稳定性条件的经济解释显而易见。供给曲线的斜率［即p/d（s,］为1/β，需求曲线斜率[即-dp/d（d,）1的绝对值为1/。正如图1.3所展示的那样，如果供给曲线比需求曲线更陡悄，即1/β>1/或β/<1，则系统是稳定的。作为练习，可以画一张图，使得需求曲线比供给曲线更为陡嘣，从而说明价格是波动的，且从长期均衡向外发散
1.5蛛网模型19现在考虑供给变动的影响。供给变动对小麦价格当期的影响可用P，关于e，的偏导来表示，从式（1.42）可得ap.=-1(1. 44)ae,21式（1.44）称为影响乘数，表现了t期的供给变动8，对价格的影响。在图1.3中，8，取负值意味着价格高于长期价格P：当期价格上升1/个单位时，当期供给就下降1个单位。当然，这一术语并不仅局限于蛛网模型，对于式（1.10）中的n阶模型而言，影响乘数是，关于推动过程的变动的偏导数。t期供给变动的影响可推至未来期间，将（1.42）变动1期，得到1期乘数apmt = - 二(- β/)2Y=β/2图1.3的点3说明了t+1期的价格是如何受到t期负的供给变动的影响。很明显，可推出以下结论：供给变动的影响随时间而递减。由于β/<1,则ap,/as，的绝对值超过ap+1/ae，的绝对值。所有的乘数都能按类似方法得到；将式（1.42）变动两期，得到op2/28 =-(1/)(-β/)经过几期之后opt+n/as,=-(1/)(-B/)所有这些乘数的时间路径被称为脉冲响应函数。在时间序列分析中，这一函数有许多重要的应用，因为它揭示了变量的整个时间路径是如何受到随机扰动的影响的。这里，脉冲函数追踪的是小麦市场上一个供给冲击产生的影响。在其他经济分析中，我们也许会对货币供给或生产力水平对实际GDP的冲击的时间路径感兴趣。实际上，不变动式（1.42），也能得到上面的函数，因为总有api-ap.281为得到脉冲响应函数，只需要求式（1.42）关于8t-,的各个偏导数，这些偏导数其实就是式（1.42）中序列18-,1的系数。在式(1.42)中，三个成分都有清楚的经济含义。特解中的确定性部分（a-6)/（+β）为长期均衡价格，如果满足稳定性条件，序列P，将向长期均衡值收敛。由于供给冲击的缘故，特解的随机部分就决定了短期价格调整。脉冲响应函数的系数最终呈遵减趋势，使得每一个8，都只在短期产生影响。第三部分为表达式（一β/)A=（-β/)'[p。-（α-)/(+β)]。A值是0期价格与长期均衡水平的偏差
20第1章差分方程假设β/<1，则0期的偏差对价格影响的重要程度会随时间而递减。1.6解齐次差分方程22在经济分析中出现更高阶的差分方程并不奇怪。根据萨缪尔森模型（1939）得到的GDP诱导方程式（1.5），就是一个2阶差分方程的例子。此外，在时间序列计量经济学中，对2阶和更高阶方程的估计也相当典型。要考察齐次解法，请考患如下2阶方程(1. 45)y, -a1yt-1 - a2yt-2 = 0联想到1阶方程的结论，我们也许会猜想到齐次解的形式为Aα，试着将该设想解代人式（1.45），得到Aα" - a,Aat-1 - a,Aα-2 = 0(1. 46)显然，A取任意值都满足上式。如果将式（1.46）除以Aα-2问题就变成寻找α值使其能够满足 - a,α -az = 0(1.47)解此二次方程一又称特征方程一一得到两个α值，称为特征根。运用一元二次方程的求根公式，得到两个特征根为a, ±a +4azaa2=(a, ± a)/2(1.48)这里d为判别式[（a,）"+4a,1。每一个特征根都能得到式（1.45）的一个有效解。但是，这些解也不是惟一的。实际上，取任意两个常数A，和Az，线性组合A,（α,）"+A（α）也是式（1.45）的解。要证明，只需将y=A（α,）+A（α2）代人式（1.45）就能得到A,(α,) +A,(α,)"= a,[A,(α,)"-I +A,(Q2)"-"] +a[A,(,)-2 +A,(α,)-]现在，将各项重新合并，得到A[(α,)"-a,(α)"-1 -(α,)-] +A,[(αz)" -a,(α)- -a,(αr)-] 0由于α，和αz都是式（1.45）的解，因此，括号内两项都必然等于零。这样，2阶方程完整的齐次解就为y *A,(α)*+A,(α)如果我们不知道at,az的具体取值，就不能得到两个特征根α,，αz。但是，有可能描述出解的特点，下面三种情形就依赖子判别式d的值