1.6解齐次差分方糕2122情形！如果品+4#，0，为实数，期有两个不同的实数特征根。因此，齐次方程的两23个解就分别被记为（，）和（）已知两者任意战性组合都是一个解，因此y=Aa+A(m)很靠绍，如果，或的绝对值大于解就是发散的。工作表！！中所考紧的两个2除方坐均有不同的实数特证根，在第一个例子中小，=0.2%+0.35%+特征报为0，=0.7.0=-0.5.因此，完整的齐次解就为元=4（0.7）+4（-0.5）由于间个假的绝对值帮小于1，国面，齐次解是收敏的。如工作表！左下部的图所示，由于（-0.5）的影响，收放是非单需的。在第二个例子中3,=0.7+0.35%24工作表中满承了如何得到两个特征根的解式假设一个特征根为（1.037）则序列13，是发收的。在负值根（a=-0.337）的响下，时间路轻为非单调性，由手（-0.337）迅出减为零，期起支配作用和发教性的根就是1.037情形2如果+44=0，则有4=0.α三0=，2。遇此齐次解就为a/2，但是，当4=0时，有一个2价齐次解为★02）为证明大=（#/2）是一个齐次解，格它代入式（1.45）判定是否a/2)-a[(1-1)(a/2)"1-a[(-2)(a/2)1=0险以（a2），期到-L(a4)+al+Lcan)42a1=0由于我们是在可，+4，=0的条件下进行寸论的，每一个括号内的表达式都为0因此，（g/2）就是式（1.45）的一个解，对任款需数44.完整的齐次解就为x=A,(a,)+Ai(a2)显然，如单a，52系统是发散的妞果2，赠4（2）收敏·住热我们也许会认为，2）的影有并不确定【四为递减项（，/2）还要乘以，在有限的范围内，若齐次解是非单调性的，这种不前定性确实存在，正如困4所示，只要14,<2对于a/2=0.95.0.9和-0.9当-%时，lim[1（a/2）1必然前于0因此，总是表现出收敛性，当0<4<2时.齐次解在最终收为0以前，呈发救形式当-2月，<0时，望显著的不规期性，在波动短断减小并最降趋于家之的，齐次娜的波动是发散的
22第1京老分方程251-(0.95)(10.9)020801O040H0n-09)8O10020A0601图L4齐饮解（aX24工作装术二阶力程例1：元-0.2-+035-遇此4=0,20--0.35建立齐次方程：元-0.2-0.358±0由于到别式为4+4以4=144，已叫寸>0.则有商十拍算实根敢会试解：，三#费委试界代人齐次方载，第雍0-0.20-0.350=0禁以0得到特证方醛0-022-0.35=0让算网不特燕瓶特得到m30.5+）0.5(a-0)0,±-0.5R.-0.7
1.6／解井发至分方程23妞齐次解为4（0:7）44（-05本工作表中的第1错带表示的是，当任意常数为1..从1取到20时，该解的时间路径例2-07%-+0.15元-国此.0，=0.701=035建立齐次方程-0.7元4-0.35-0由于月别式为4=时+4a，因而=189，已4>0，哦在两个相好实机立特能方程（a）-0.7（a）-035（a)0除放0每到特征方费2-07-0.35-0计算两个特证根、每到a=ota,+)aa5(0-a)0=103715-0,337则齐次银为4（1037）+4-0337元本工作装中的箱2贴扭表示的是，当任意常数为1，而，从1取到20时，该解的时间落经M州350510102025情形3如巢a+40，≤0，期由于为负，特证根为虚根由于≥0，只有当4，<0时才能产生虚根，尽管这一点很难直接解降，是，如果我们换为极坐标，就可以排根转换为更容易理解的三角函，本章附录11附有一些技术上的细节现在，我们将两个特低根写为aa+id)na(a-i-d)其中=-正如附录所示，我们可以根据deMoive定理，将齐次解写为y=BrenaeB)(1.49)
24第1章差分方程26其中，β,β均为任意常数，r=（-a2）12,选定值，使其满足(1.50)cos(0) = a,/[2(- a2)12]三角函数揭示了齐次解像波浪一样的时间路径，注意，波动的频率取决于9。由于cos（）=cos（2元+ot），稳定性条件就仅由=（-α）1的大小来决定。如果42|=1,波动的振幅不变，齐次解就是周期性的；如果a，<1，波动呈递减趋势；如果|α2|>1,则呈发散趋势。例子：用含虚根的方程作一次练习大有神益。工作表1.2左侧考案的是行为方程y,=1.6y.-1-0.9y:-2。快速检查一下发现，判别式d为负，因而特征根为虚根。如果我们将其转换为极坐标，r值就为（0.9)2=0.949，根据式（1.50）可得，cos（0）=1.6/（2×0.949）=0.843。采用三角函数表或计算器查得?=0.567[即cos（6）=0.843，9=0.567]。因此，齐次解便为(1.51)y: = B,(0.949)'cos(0.567t +β2)工作表1.2左边的图，是令β=1，β2=0，取=1，",30面绘制成的平面图。例2采用相同的az值（因此，r=0.949），但令a，=-0.6,d值又为负。经过计算，cos（8）=-0.316，因此6为1.89。比较工作表1.2中的两张图可发现，8值增加，波动的频率也会增加。稳定性条件用图1.5的三角形ABC可以归纳出具有普遍性的稳定性条件。弧形AOB是情形1和情形3之间的分界线，它是当d=a+4a,=0时由点形成的轨迹。A0B以上的区域与情形1相对应（因为d>0）,A0B以下的区域与情形3相对应（因为d<0)。28da2-1+aa21-0,8VBa2=-N4,=2a,=-2图1.5平稳条件的特征
1.6解齐发差分方程25在情形中（其中的根为相异实根）稳定性条件要求最大根小于！，最小根大手26如果4+(0+40）<2或（a+4a<2-a期最大的特征根a，=（a+）2将小于1因此，0+4a，<4-4a+a或者(1.52)a+o51如果a-（af+40）2-2或2+03（a+4a）期最小根a=（a-）/2将大于-128因此：4+4a.+>5+40成o+(1.33)27工作表虚粮周2例1.+0.6y1-0.9%-1Y-1.6y+0.9xaa）检表判别式d=（a）+4ad=(1.6)+4(-0.9)d=0-0.6)+4(-0.9)=-1:04=-324国此，求出的根是虚极，齐次解为Bo（+B)其中和的为任意常数b）再到厂（一#，#的取值为P=(0.9)t=(0.9)=0.949=0.949c)）从cos(0)=a/[2(-a,1中，得到006（8)=1.6/（2(0.9)/1om(0)=-0.6(2(0.9)40.843:-0.316已知co（），在三角用数表中在0=0.5670=1.89d）形成齐次解：y=Brcos（ar+β)