1.3选代法解方程11尽管序列的绝对值会变得越来越大，序列中的所有取值仍将是有限的。当a，=1时，会得到一个很有趣的例子。将式(1.17)重新写为y,=Go+Y-1 +8或Ay,= ao+8,从y，向%往回选代，可证明，该方程的一个解为(1,26)y,=aot+E,+Y0台我们很快发现，该解形式上非常直观。在每一时期t，y,都会变动α。+，个单位。经过期之后，就会有次变动；因而，总变动为a。加上序列1e！的个值之和。注意该解包括从8，到8，所有扰动项的求和，因此，当a,=1时，每一扰动项对y,值的影响都永不衰减。我们应当将式（1.21)中的解与该方程比较一下。当|a,1<1时，，为t的递减函数，因此，过去的于扰项的影响就会随时间而逐渐减小。图1.2演示了a，的大小的重要性。将由电脑产生的25个随机数字，记为8，到825，其理论均值为零。设y等子1,根据方程y,=0.9yr-1+，可得到序列1y,的25个取值，如图1.2（&）中的细线所示。如果你将a。=0，α，=0.9代人式（1.18），可发现1y.1的时间路径是由两部分构成的。第一部分0.9°由图1.2（a）中缓慢递减的粗线表示。对于t的相对较小取值，这项是决定解的大小的关键因素。随机部分的影响表现为粗细线之间的距离，可以看出，8，的前几个取值是负的。当t变大时，随机成分的影响将变得更加显著。应用前面随机产生的数字，再次令%。等于1，由公式y,=0.5y-1+，可以构建第二个序列，如图1.2（b）中的细线所示。表达式0.5的影响表现为迅速递减的粗线。当变大时，解的随机成分对的时间路径所起的作用越来越显著。比较图1.2（a）和图1.2（b），很明显，|a|减小时，收敛速度会加快。此外，在图1.2（b)中，模拟的y.值与粗线的距离没有图1.2(a)中那么明显。正如在式(1.18）中13所见到的，y的解中，e.-的系数为（a,）"，a,值越小，意味着e的过去值对y。的当期值影响越小。模仿此例，取a,=-0.5,得第三个序列，如图1.2(c)中的细线所示。波动是由于α，取负值的缘故。表达式（-0.5）由粗线表示，当取偶数时，其值为正，当1取奇数时，其值为负。由于||<1,波动是递减的。图1.2后而三幅图演示的是非收敛序列。类似地，每一序列都以%。=1和相同的25个{8,l的取值为初始条件。图1.2(d)中的细线表示时间路径y,=yr-+8，由14子8.的每一取值的期望值都为0，图1.2（d）实际上表示的是随机游走过程。这里4y.=8Y的变动完全是随机的，非收敏性表现为1y来回波动的趋势。在图1.2（e）中，粗线表示发散性的表达式（1.2），它决定了序列1>的随机部分。注意，模拟
12第1章差分方程y,=0.9y,-1+E,y,=0.5,-1+e,0.50.50.5-0.5252101520250101520(b)(a),--0.5y-++8y,"yi-I+e,0.50.8060.40.225051015202505101520(c)(d)y,-1.2yt-1+e,3,*-1.2yr-1+8,10010050F100-oL200L50101520250510152025(e)(f)图1.2收敏和非收敛序列序列！y与细线之间的距离随！值增加而不断变宽，这是因为y的解中含有的过去值，系数为（1.2）。当i增加时，这些以前差距产生影响的重要性变得越来越显著。同样，令a二=1.2,如图1.2(f)所示，波动是发散性的。t取偶数，（-1.2)为正，取奇数，（-1.2）为负。1.4备选解法14送代法不宜用于高阶方程，在复杂的代数式面前，任何试图求解的努力都是徒劳
1.4备选解法13的。幸好，还有几种备选解法可以用于式（1.10）给出的n阶差分方程。在此，我们不妨套用“学跑之前先得学走”这一原理，最好先考察式（1.17）给出的1阶方程。尽管解答过程中可能会走些老路，但以1阶为例却能很好地说明一般方法及步骤。将式（1.17）拆分成不同的部分，仅考虑其中的齐次部分(1.27)y = aiyr-1该齐次方程的解称为齐次解，有时，将齐次解表示为较为有益。显然，平凡解y,=y.-,==0满足式（1.27），但是，该解并不是惟一的。令a。和（8,I的所有值均为零，式(1.18）变为y,=a%,因此，y,=a,%也必定是式（1.27）的一个解。但是，即使该解也并未涵盖所有的解。不难证明，a；乘上任意常数A，均满足式（1.27）。将y,=Aa和Y-1=Aα-代人式（1.27），得到Aa,= a,Aa'由于a=a,at"，则y,=Aa也是式（1.27）的解。借助图1.2中的粗线，我们可以将齐次解的特征归纳如下：1.若a,<1，则当趋于无穷大时，表达式a，收敛于零。当0<a,<1时为直接收敛，当-1<a,<0时，为波动收敛。2.若|，|>1,则该齐次解不稳定。当a,>1时，齐次解随的增加趋近于无穷大，当，<一1时，齐次解的波动是发散性的。3.若a,=1,则任意一个常数A都满足齐次方程y:=yt-1。当α=-1时，该方程为偏稳定：t取偶数，a，=1，t取奇数，a,=-1。15现在从整体上考察式（1.17）。在第三节中，已经证明了式（1.21）是式（1.17）的一个有效解。式（1.21）称为该差分方程的特解，所有此类特解都记为，之所以冠以“特”，字是因为差分方程的解并不惟一。因此，式（1.21）只是许多可能解中的一个特例。至式（1.22)时，已证明特解不是惟一的。齐次解Aa，加上式（1.21)所给的特解就组成了式（1.17）完整的解。于是，差分方程的通解就被定义为一个特解加上所有的齐次解。一早得到通解，再施加初始条件Yo，就可以消去任意常数A了。求解方法1阶方程例子中的结论直接适用于式（1.10）中的n阶方程。一般情况下，寻找特解更为困难，并且还有Ⅱ个不同的齐次解。但是，解答时总是遵照以下四个步骤：第1步：建立齐次方程，求出n个齐次解；第2步：求出一个特解；第3步：求特解与所有齐次解的一个线性组合，求和得出通解；第4步：将初始条件代入通解中，消去任意常数。在我们讲解求齐次解和特解的各种技巧之前，有必要使用以下方程
14第1章差分方程(1.28)y, = 0. 9yt-1 - 0. 2yr-2 + 3来阐述这一方法。显然，该2阶方程是参照式（1.10）的形式，取α。=3，a，=0.9，0，=-0.2和%,=0而得到的。首先从第1步开始，建立齐次方程(1. 29)y, -0.9yt-1 +0.2yr-2 = 0就式（1.17）的1阶方程而言，齐次解为Aa。第6节将说明如何找到完整的齐次解。现在，足以证明两个齐次解为：=（0.5）和y=（0.4）。要证明第一个解，应注意到y-,=（0.5）"和t-2=（0.5）-2。因此，如果下式成立，则就是一个解。(0. 5)* - 0. 9(0. 5)"-1 + 0. 2(0. 5)"-2 = 0如果我们除以（0.5）-，问题就变为下式是否成立。(0.5)2 0. 9(0. 5) + 0.2 = 0计算该代数式，0.25-0.45+0.2确实等于零，因此，（0.5）就是式（1.29）的一个解。同样，很容易证明yz=（0.4）也是一个解，因为(0. 4) - 0. 9(0. 4)*-1 + 0.2(0.4)*-2 = 016除以(0.4)-2,得到(0.4)-0.9(0.4)+0.2=0.16-0.36+0.2=0第2步，得到一个特解。很容易证明特解=10也是式（1.28）的一个解，因为10=0.9(10)-0.2(10)+3。第3步，合并特解和两个齐次解的线性组合，得到. = A,(0. 5)* + A,(0. 4)* + 10这里，A，和A，为任意常数。第4步，假设序列有两个初始条件。为得到整数值，我们假定g=13，1=11.3。因此在0期和1期，解必须满足13 = A, + A2 + 1011.3 = A, (0. 5) +A,(0. 4) + 10联立求解,得A,=1,A，=2。因此解为%, = (0. 5)* +2(0.4)"+10方法的推广为说明上述方法也适用于高阶方程，请考虑式（1.10）的齐次部分1(1. 30)y, =Zayri合
1.4备选解法15正如第6节将展示的，共有n个齐次解满足式（1.30）。现在，足以证明如下命题：如果：是式（1.30)的一个齐次解，则Ay：也是一个解，且A为任意常数。假设，y为齐次方程的解，则有=Zar..(1.31)如果Ay,=Ea,Ay..(1.32)台则表达式Ay：也是一个解。将式（1.32)每项除以A可得式（1.31），因此，式（1.32）显然是成立的。现在假定齐次方程有两个独立的解，记为和y2。很容易证明对于任意两个常数A，A2，线性组合A,yi+Azy2也是齐次方程的一个解。如果A,yh.+Az是式（1.30）的一个解，则必定满足Ay +Ay =a(Ayi-1 +Aya-I) +,(Ayi-2 + Aya-2) +. +a,(Ayi- +Ay-n)将各项重新合并，我们想知道17(Aie ~ ZArain) + (A -ZAza) = 0S2是否成立？由于A,y和A2y分别都是式（1.30）的解，则圆括弧内的各个表达式都为0。因此，该线性组合必定是齐次方程的一个解。这一结论很容易推广到任何一个n阶方程的n个齐次解。最后，由于任意一个特解和所有齐次解的任意一个线性组合之和也是一个解，则采用第3步也是可行的。为证明这一命题，将特解和齐次解之和代人式（1.10），得到a(+y)+r+y=+(1. 33)台将式（1.33）中的各项重新合并，我们还想知道(. -o -a --,(o: - Zas.) = 0(1.34)是否成立？由于为式(1.10)的解，则式（1.34）第一个圆括弧内的表达式为零。由于y为齐次方程的解，则第二个圆括弧内的表达式也为零。因此，式（1.34）就为恒等式；齐次解和特解之和确实为式(1.10)的解