6第1章差分方程以预渊，即期汇率将会下降而远期汇率将会上升。1.2差分方程及解法尽管读者可能对上一节中的许多思想都很熟悉，但我们仍然有必要将要涉及的一些概念用公式表述出来。在这一节中，我们将考察经济分析中使用的差分方程类型，并阐明什么是求解差分方程。在开始对差分方程的考察之前，首先请考患函数y=f()。如果对函数赋值，当自变量：取特定值t时，可得因变量的取值为y，公式表述为y.=f（t）。如果使用相同记号，则y+表示当取特定值+h时的y的7取值，则y的1阶差分就定义为t=t+h与t=t时的函数值之差。Ay++ =f(t* + h) -f(t*)(1.9)“y,*+h-y,.微积分中允许自变量的变动（即：h）趋近于零。但是，由于大多数经济数据都是离散型的，允许时间跨度大于零会更有益。运用差分方程时，我们将单位标准化，所以h代表时期中的1个单位变化（即h=1），并考自变量均勾分布的序列。为了不失一般性，可去掉上的星号，得到以下1阶差分Ay,=f(t)-f(t-1) =y,-yt-1Ay+r =f(t + 1) -f(t) = y+ -y,Ay+2 =f(t + 2) -f(t + 1) 罚 yu+2 - y.l通常，将整个序列的取值！，.-..,.+.2…|表示成y.更为方便。我们可用y，指代序列中任意特定取值。除非特别规定，下标t可从-变动到+。在时间序列经济计量模型中，我们用代表“时间”，h代表时间跨度。这样，y，和y+1便分别表示序列1y,1在2004年第一季度和第二季度的取值。同样，可从1阶差分的变化中得到2阶差分。考虑A'y, = A(Ay,) = A(y, -yt-t) = (y, -y-) -(y-1 -y-2) = y, -2ye-1 +y-2Aytt =A(yt) = A(y+t -y) = (yr -y.) -(ye -y-) yui -2y, +yr-ln阶差分（△"）的定义类似。此时，我们已冒险将差分方程理论推广得太远。正如我们将见到的，时间序列分析中，很少需要使用2阶差分。可以保证，实际工作中几乎不会使用3阶及更高阶的差分方程。由于本书讨论的是线性时间序列方法，所以可以只考察带常系数的阶线性差分方程的特例。这种特殊类型的差分方程形式为1Zayt-+r,y, = ao +(1.10)
1.2差分方程及解法7n表示差分方程的阶数。由于自变量的所有取值都为一次方，因此该方程是线性的。有关经济理论的例子中，a，都是经济变量的函数，但是，只要它们不依赖于y或的任一取值，我们都可将其视为参数。"，项称为推动过程，其形式非常广泛，，可能是时间、其他变盘的当期或滞后值，和（或）随机干扰项的任一函数。通过恰当8地选择推动过程，我们可得到大盘重要的宏观经济模型。重新考察式（1.5），即GDP的诱导方程，该方程是一个2阶差分方程，因为y依赖于y-2，推动过程为表达式(1+β)8。+6-Be-1。注意到，式(1.5)中没有与式(1.10)中对应的截距项ag0序列（，1的一个重要特例为YP,8t-1-0其中β，为常数（其中一些可取零），序列1，的单个元紊都不是的函数。这样，可以认为，序列1e,1不过是一个未取定外生变量的序列。比如，令|6，表示随机误差项，令β。=1β，=β2=…=0，则式（1.10）就成为如下自回归方程Y,=ao+aiyi- +a2y-2+...+a.yi-a+B,若令n=1,α。=0,at=1,便得到随机游走模型。注意式（1.10)可写为差分算子形式（4）。从式(1.10)中减去yt-1,得到MZa,J.. +*y, -y,-, = ao +(a, -1)y.-, +或令=a,-1,得到nZa,yi + *,(1. 11)Ay, = ao +yy.I +2很明显，式（1.1）不过是式（1.10）的修正形式。差分方程的一种解是将y值表示为序列，的元素和（也可和序列y.的一些给定值，称为初始条件）的函数。考察式（1.11），不难发现，它与通过给定的导数求原函数而进行的积分有类似之处。假设某方程表示为式（1.10）或（1.11）的形式，我们来求原函数（）。注意解是一个函数而非数字，解的主要特征在于，当t和1*，取任何允许值时，它都满足差分方程。因而，将解代人差分方程必能得到恒等式。比如，考察简单差分方程y,=2（或y,=y-1+2），我们很容易证明y=2t+c为该差分方程的解，这里，c为任意常数。根据定义，如果2t+c为一解，则必定满足，的一切允许值。因而，对t-1期，有y-=2（t-1）+c,现在将解代人方程得2t+c=2(t-1)+c+2(1. 12)计算该代数式，可证明式(1.12)是一个恒等式。这个简单的例子也说明差分方程的解不是惟一的，c的任意一个取值都对应着一个解。图1.1中的无规则项提供了另外一个有助于理解的例子，回忆其表达方程式为：9
8第1章差分方程1,=0.71,-1+8,，可证明，该1阶方程的解为 (0.7)'t-t(1. 13)1 = 由于式（1.13)适用于所有时期，所以，-1期的无规律性成分可写为I.- = Z(0. 7)'.1--(1.14)0现在将式(1.13)和(1.14)代人1,=0.71.-，+8,,得到6, +0. 781-- + (0.7)*6-2 + (0.7)*c.-3 + ..= 0.7[6t-- + 0. 7e-- + (0.7)8-s + (0.7)°s1-4 + -.-] + 6,(1. 15)由于式（1.15）两边相等，所以，这就证明了式（1.13）是1阶随机差分方程1=0.71-1+e的一个解。注意诱导方程和解之间的区别。由于I,=0.71.-，+e,适用于t的所有取值，从而必有1.-1=0.71,-2+8,-1。联合这两个方程得到(1.16)1, = 0.7[0. 71,-2 + 8--] + 6, = 0. 491-2 + 0. 76-1 + 8,式（1.16）为一个诱导方程，因为1，由其滞后值和于扰项表示。但是，不能将式(1.16）当做解，因为它包含了“未知”值1.-2。要让式（1.16)成为解，必须将I，表示为，，以及任何给定初始条件的表达式。1.3选代法解方程式（1.13）的求解方法要求比较简单。本章接下来的部分将讨论其他的求解方法。每种方法都有其自身的优点，知道在某一特定条件下使用何种最恰当的求解方法，这样的技巧只能来自于实践。这一节讨论送代法。尽管送代法是一种最麻烦、最耗时的方法，但大多数人仍然觉得它很直观。如果在某特定期间的取值已知，种直接的解法就是从该期向前迭代，以得到整个y序列接下来的时间路径。将y的已知值或在0期的取值（记为）作为初始条件。最便于演示选代法的是使用1阶差分方程(1. 17)y,=ao+ayi-t+8已知yo，可得y,为J=a+ayo+B同样，y2为Y2 =ae +aiyi +e2=ag +a,[a +ayo + e,] + 82mao + agat +(a,)'yo + a1b, + 82
1.3选代法解方程910继续这一过程，可得y：为ys = ap + ajy2 +eg = ao[1 +a, +(a,)"] + (a,)' +(a,)"s1 +a1e2 +83很容易证明对于所有的t>0，重复选代均可得到i-14-y. = a.Zai + diyo +Safer-i(1.18)式（1.18）是式（1.17）的一个解，因为它将y表示成了t、推动过程*，=Z（a,）e.-,和已知值y。的函数。作为一次练习，以下的发现将会很有用，即从y,向y往回选代，会刚好得到与式（1.18）一样的方程。由于y,=a。+αy-+8.则有y,=ao+a,(o+a,yr-2+S,-,)+8,=ao(1 +a,) +ar-1 +6, +a,(a, +atyt-g +8t-2)继续向0期选代，得到式（1.18）。初始条件未知的选代假设没有给出%。的初始条件。由于%未知，这样，式（1.18）给出的解将不再适用。因为既不能选择y的初始值以便向前选代，也不能从y，往后选代至t=to。因此，假设再继续向后选代，将ag+a%-1+8作为y。代人式（1.18），得i-11-1y, =a Zai + ai(ao + a1y- + 60) + ai8--0d=aoZai+ Zais-++ at'y-i(1. 19)010再继续向后选代m期，得到*-2 (1. 20)现在，考察式（1.19）和（1.20）。若/a/<1，当m趋于无穷大时，++1趋于0。同样，1+a,+（α,）+)会向1/(1-a,）收敛。因此，如果我们暂且假定|a,|<1通过连续替代，可将式（1.20）写为L(1.21) =a/(1-a) +aier-11在此，我们应当花几分钟确认一下，式（1.21）是否是原差分方程（1.17）的一个解；将式（1.21)代入式（1.17）可得到恒等式，但是式（1.21)并不是惟一解。A取任意值，式（1.17)的解都可写为y, - Ac, + ao/(1 - a,) + Zaie.-i(1.22)10
10第1章差分方程为证明对于A的任意一个取值，式（1.22）都是一个解，将式（1.22）代人式（1.17）得到Za(8 = ag +a.[ag/(1 - a,) + Aa" +Zaje--]+8ag/(1 -ar) +Aa; +L0由于等式两边恒等，说明式（1.22）必定是式（1.17）的一个解。两种选代法的混合解已知选代解为式（1.22），假设还知道在任意一期。的取值这一初始条件。那么我们可以直接对式（1.22)施加初始条件，从而得到与式（1.18）相同的解。由于式（1.22）对包括1在内的所有期间都成立，这样当t=0时，必定有*Saig-yo=A + a/(1 -a) +o所以Zde(1. 23)A = yo -α,/(1 - α1) -ho由于%已知，可将式（1.23）看做是在给定初始条件下，使得式（1.22）成为式(1.17)的一个解A的取值。因此，给定初始条件后，便可消除A的任意性。将A值代人式(1.22)，得到Zale.y, = [ - α/(1 - ar) -a, + ag/(1 - a,) +Zajs-+ (1.24)合化简式（1.24），得到t-(1.25)y,=(%-ao/(1-at)a+0/(1-a,)+>a,81A不妨花点时间证明一下式（1.25）与式（1.18）完全相等。非收敛序列假定|α|<1，当m趋于无穷大时，式（1.21）就是式（1.20）的极限值。在其他情况下，解会发生什么变化呢？如果|a,1>1，由于当+m趋于无穷大时，表达式1a,|*也变得无穷大，因而不能从式（1.20）推出式（1.21）。但是，如果有一个初12始条件，就无需进行无限求和，仅仅选取初始条件yo，并向前选代，就可得到式(1.18)(-1Eai+ay+a8.-iy, = a o