差分方程导论本书各中运用的所有时间序列方法都以差分方程理论为基础，可以说，时间序列计量经济学就是有关含随机成分的差分方程的估计，通常，我们将时间序列分析用于手预测变量的时商路径，由于序列的可预测成分能够外推至未亲期间，因此，据示序列的动态路径可使得预谢效果大为改善。随者人们对动态轻济学的兴趣日益增加，时间序列计量经济学已经开始受到新的重视，于是，从动态经济模型中银自然地产生了随机差分方程，经过愉当估计的方程可以用于解释济数和进行限设检验本章要实现以下3个日际（1）解释如何运用随机差分方程进行质测，并举例说明如何从熟看的经济模型中得到这类方程，本章的目的不在于专门介绍有关差分方程的理论，而仅仅是展示那些对恰当估计线性时间序列模型至关重要的方法并主要集中在单方程模型，葡多变量模型将在第5章和第6章中进行讨论（2）解释什么是求解差分方程。根据方程的解可确定变量的时间路径是稳定的还是发胶的，掌报稳定性条件方面的知识对理解时间序列计量经挤学的量新进展至关重要。如今，有关时间序列的文献特别关注平稳与非平稳性变量的间题，而稳定性条件删构成了单稳性条件的基醋。（3）演示如何求解随机差分方程可用于求解的方法有多种，每一种都有自己的优点，大量的例子可以帮助我们理解这些不同的方法，请试着仔细推算每一个例子，作为辆外的调练，我们可以完成本章末的习题。L1.17时间序列模型当代时间序计量经济学家所面临的任务是建立相对简单的模型，能够用于经矫数措的预测，解释和假设检验。这一挑战与日集增，时间序列分析最初主要是作2为预测的辅助工具，固此，经济学家创造了一套方法，可将序列分解为趋势性、季节
2第1章差分方程性、周期性和无规律性（或称无规则）成分。由于每一个可预测成分都能被外推至未来期间，因此，揭示序列的动态路径，有利于揭高预测精度。假设你观察到图1.1所示的50个数值点，并有兴趣预测后面的取值。应用后面几章讨论的时间序列分析方法，可以将该序列分解成图1.1下半部所示的趋势性、季节性和无规律性成分。正如我们所看到的，趋势改变了序列的均值，而季节性成分则呈现出规则的周期模式，每12个时间单位就出现一次峰值。实际上，趋势性成分和季节性成分并非图1.1中所示的经过简化的确定性函数。运用经济数据分析，我们会很容易发现，序列的趋势性、季节性和无规律性成分中都包含了随机因素。眼下，明智的做法是抛开这些复杂的情况，这样，对第50期以后的趋势性和季节性成分的预测会变得简明易懂。4观测数据105101520253035404550556065707580趋势性一季节性无规律性预测值M5101520253035404550556065707580图1.1假设的时间序列3注意，即使没有一个定义良好的模型，无规律性成分在某种程度上仍是可以预测的。如果我们仔细查看图形，不难发现，正负值是交替出现的；任一期出现一个较大值，随后都会跟着出现另个较大值。短期预测可以利用无规律性成分的这一正相关性。但在整个期间，无规律性成分却表现出向零收敛的趋势。如图1.1的下半部
1.1时间序列模型3所示，第50期以后的无规律性成分的预测值迅速递减，趋近于零。面图1.1的上半部所示的整个预测，实质上是每一预测成分的总和。进行上述预测的一般方法是要寻找一个推动随机过程的运动方程，并使用该方程预测后面的结果。令，表示，期的数据点取值：如果我们使用这一记号，则在图1.1的例子中，假设我们观察到了y到yso的取值。对于t=1到50,用来构建序列y的成分的运动方程为趋势性方程：T，=1+0.1t季节性方程：S,=1.6sin(V/6)无规律性方程：1，=0.71-1+8,其中，T，为1期的趋势性成分取值；S为期的季节性成分取值；I为期的无规律性成分取值；8，为t期的纯随机扰动项。因此，期的无规律性成分就等于上一期无规律性成分的70%再加一个随机扰动项。上面三个方程都是差分方程。通常形式下，差分方程将变量表示为该变量滞后值、时间和其他变盘的函数。其中趋势项和季节项都是时间的函数，而无规律项则是其滞后值和随机变量6，的函数。介绍这组方程意在说明，时间序列计量经济学研究的是对含随机成分的差分方程的估计。时间序列计量经济学家可能估计单一序列的特征，或者包含许多相互依存序列的向量的特征。本书对单变量和多变量预测方法均作了介绍：第2章讲述如何估计序列的无规律性成分；第3章讨论当数据表现出周期性波动和稳定时，如何对方差进行估计，第4章讨论趋势估计，问题集中在趋势是确定性的还是随机性的；第5章讨论随机差分方程向量的特征；第6章则是有关多变量模型中的趋势估计。尽管预测是时间序列分析的重点，但随着动态经济学的重要性日益增加，时间序列分析有了新的用武之地。许多经济理论都被自然地表示为随机差分方程，更重要的是，许多模型都暗示着关键经济变量的时间路径具有可检验性。请考以下三个例子。1.随机游走假设。在最简单的随机游走模型中，股价逐日变动的均值为0。毕竞，如果大家都知道在第t天买人股票，在第+1天按期望的价格卖出，就可获得资4-本利得，那么，有效的投机将会推动当前股价上涨。同样，没有人愿意持有预期价格将会下跌的股票。从形式上，模型认定股价的变动应当满足随机差分方程Yt = y, +8l或者
4第1章差分方程Ayt1= 6ul其中，为第天的每股价格：81+为期望值为零的随机干扰项。现在考虑更一般的随机差分方程Ayi = ao + aiy, + St+1随机游走理论假设要求满足可检验的约束条件：α。=α，=0，拒绝该约束条件就等于拒绝该理论。假设期的信息可得，该理论也要求6+的均值等于零；如果能够证明8+1是可预测的，则随机游走假设无效。第2章到第4章将再次讨论如何恰当地估计单方程模型。2.诱导方程和结构方程。将差分方程组拆分成独立的单方程模型很有用处。为说明其中的关键问题，请考虑随机形式的萨缪尔森（1939）经典模型：(1.1)y, = c, + i,c,=ayi-+80α1(1. 2)i=β(c,-e-)+uβ>0(1.3)其中，，c，和；分别表示期的实际GDP，消费和投资。在凯恩斯模型中，y,，c和；都是内生变量，前期的GDP值y.-1和消费值c.-1称为前定或滞后内生变量。sα，8是消费和投资的随机干扰项，均值为零，系数α，β为待估参数。第一个方程表示总产出（GDP）等于消费和投资支出之和，第二个方程表示消费支出等于上一期GDP的一定比例加一个随机干扰项，第三个方程表示加速原理，即在消费增长必定带来新的投资支出的前提下，投资支出等于消费变动的一定借数。误差项sa，分别表示不能被模型的行为方程所解释的消费和投资部分。5式（1.3）是一个结构方程，因为它表明内生变量；依赖于另一个内生变量c，的当期值。而请导方程则将变量值表示成该变量滞后值、其他内生变量的滞后值、外生变量的当期和过去值以及扰动项的函数。如公式所示，消费函数已经表示成诱导方程，当期消费仅仅依赖于滞后收入和随机干扰项6。而投资还不是诱导方程，因为它还依赖于当期消费。为得到投资的诱导方程，将式（1.2）代人投资方程得到i=p(αyi-, +a-Cr-f)+8n=aByt-i -βc,-1 +Bse + ei注意投资的诱导方程不是惟一的。我们可以将式(1.2)滞后1期得到cr-1=ay,-2+8.1。运用该表达式，投资的诱导方程也可写作i, =apyt-,-p(αyt-2 +Ba-)+Bea +Bu=αB(yt-1 -Yt-2) +β(8 - Ba-1) +8(1.4)
1.1时间序列模型5同样，要得到CDP的诱导方程，可将式（1.2）和（1.4）代入式（1.1），得到y,=yr-+8+α(yr-1-yr-2)+B(e-Ba-1)+8=α(1 +β)yt-i -αByt-2 +(1 +β)se + eu -βea-1(1.5)式（1.5）是一个单变量诱导方程，完全被表示为其滞后值和干扰项的函数。单变量模型用在预测方面特别有效，我们仅仅根据它当期和过去的实现值，就可对序列进行预测。运用第2章到第4章阐述的单变量时间序列分析方法，可以估计式（1.5）。一且得到了α，β的估计值，就可直接使用y1到y，的观察值来预测序列（即y.1,+2，)中的所有未来值。第5章讨论当所有变量都被当做联合内生变量时的多变量模型估计。该章也讨论从已估诱导模型还原（识别）到结构模型所需的约束条件。3，误差纠正：远期和即期价格。在即期市场上可以买卖一定的商品和金融工具进行即期交割，或在规定的未来某一日期完成交割。比如，假设在即期市场上，某外汇的即期价格为s，美元，未来一期的远期交割价为，美元。现在，假设一投机者以每单位f.美元的价格购买该远期外汇，在+1期初，该投机者获得外汇，并按每单位f.美元进行支付。由于即期外汇能以+的价格卖出，所以，投机者每交易单位的盈利（或亏损）为s.+1-f。无偏远期利率（UFR）假设认为投机行为的期望收益为零。形式上，该假设假定6远期和即期汇率具有如下关系：S+I=f,+5+(1.6)其中，从t期的角度来看，8+具有零均值。在式（1.6）中，t期的远期汇率是+1期的即期汇率的无偏估计。因而，假设已收集到两种汇率的数据，并对以下回归方程进行估计S = ag +af +et1如果能证明α。=0,α，=1,并且回归残差8在！期具有零均值，那么，UFR假设成立。当81=0时，即期和远期市场可被视为处于长期均衡。无论何时.1表现出与J不一致，后期都必然会进行某种调整以恢复均衡。考虑以下调整过程8t42 = Sr+I -α(su1 -f) +en+2 α >0(1.7)f.ut = f. +β(su1 - f.) + 8p+)B>0(1.8)其中，6+2和8#+1都具有零均值。式（1.7）和（1.8）演示了第6章所讨论的联立调整机制。该动态模型称为误差纠正模型，变量在任何一期的变动都和变量的前一期值与长期均衡的离差有关。如果即期汇率s+,与远期汇率f相等，则式（1.7)和（1.8）说明即期和远期汇率倾向于保持不变。如果即期与远期汇率之差为正，即s:+1-f,>0，则根据式（1.7）和（1.8）可