基于均匀形核的金属液滴凝固过程

D0L:10.13374.issn1001-053x.2013.06.006 第35卷第6期 北京科技大学学报 Vol.35 No.6 2013年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2013 基于均匀形核的金属液滴凝固过程 陈明文)，王轶男)，张鸿)，王自东2)☒ 1)北京科技大学数理学院，北京1000832)北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:wangzd@mater.ustb.cdu.cn 摘要研究了均匀形核的金属液滴凝固过程，应用渐近分析法求得金属液滴内晶核生长数学模型的渐近解，分析了表 面张力、界面动力学参数、初始晶核尺寸和过冷度对晶核界面生长速度、晶核半径以及液滴凝固时间的影响.在一定的 过冷条件下，表面张力和界面动力学参数显著减缓了晶核界面生长速度.在凝固开始的很短时间内晶核界面生长速度迅 速上升，当速度上升到最大值后，随着晶核半径的增大，界面生长速度逐渐减慢，表面张力和界面动力学参数对晶核生 长速度的作用也逐渐减小.过冷度越大，液滴凝固时间越短.经过在开始的瞬变凝固阶段之后，温度场从设定的初始分 布迅速地调整为由过冷度、表面张力、界面动力学参数等所确定的特定温度分布. 关键词粉末金属：凝固：形核：渐近分析 分类号TF123 Solidification of metallic droplets based on homogeneous nucleation CHEN Ming-wen WANG Yi-nan 1),ZHANG Hong2),WANG Zi-dong) 1)School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Materials Science and Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China Corresponding author,E-mail:wangzd@mater.ustb.edu.cn ABSTRACT The solidification of metallic droplets based on homogeneous nucleation is studied by a mathematical model of nucleus growth in metallic droplets.An asymptotic solution to the model is obtained by the asymptotic analysis method.The effects of surface tension,interface kinetic parameter,initial nucleus size,and undercooling on the growth rate,radius,and solidification time of the nucleus are analyzed on the basis of the asymptotic solution.It is found that surface tension and interface kinetics parameter significantly decrease the growth rate of the nucleus under a certain undercooling condition.The growth rate of the nucleus rapidly rises in the initial short period of solidification.After the growth rate of the nucleus reaches its maximum,it gradually descends with the increase of nucleus radius.In the meantime,the effects of surface tension and interface kinetic parameter on the growth rate of the nucleus decline gradually. With the increase of undercooling,the solidification time of the droplet decreases.After transient solidification within the initial short period,the temperature distribution in the droplet is rapidly modified from some initial distribution to a certain temperature distribution determined by undercooling,surface tension,interface kinetic parameter,etc. KEY WORDS powder metals;solidification;nucleation;asymptotic analysis 气雾化粉末制备技术是将金属液破碎成细小影响到金属粉末的组织状态，凝固速度越大，显微 弥散的液滴，获得细小均匀晶粒组织，以制备高性组织越精细、越均匀-习.人们对于热交换支配 能的合金粉末.金属液滴凝固过程中，晶核生长的雾化金属液滴凝固过程以及在达到快速凝固速率 界面、尺寸等材料微观组织的变化对材料的韧性、的形核之前的亚过冷状态做了大量的理论分析和模 强度、硬度等力学性能有重要的影响，过冷度直接 拟B-),期望在实际凝固过程中获得更高的热交换 收稿日期：2012-03-04 基金项目：国家自然科学基金资助项目(10972030：50904005)：中央高校基本科研业务专项(FRF-BR-11-034B):材料先进制备技 术教育部重点实验室开放课题(KLAMP-1102):教育部博士点基金资助项目(20100006110026)

第 35 卷 第 6 期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vol. 35 No. 6 2013 年 6 月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun. 2013 基于均匀形核的金属液滴凝固过程 陈明文1)，王轶男1)，张 鸿2)，王自东2) 1) 北京科技大学数理学院，北京 100083 2) 北京科技大学材料科学与工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: wangzd@mater.ustb.edu.cn 摘 要 研究了均匀形核的金属液滴凝固过程，应用渐近分析法求得金属液滴内晶核生长数学模型的渐近解，分析了表 面张力、界面动力学参数、初始晶核尺寸和过冷度对晶核界面生长速度、晶核半径以及液滴凝固时间的影响. 在一定的 过冷条件下，表面张力和界面动力学参数显著减缓了晶核界面生长速度. 在凝固开始的很短时间内晶核界面生长速度迅 速上升，当速度上升到最大值后，随着晶核半径的增大，界面生长速度逐渐减慢，表面张力和界面动力学参数对晶核生 长速度的作用也逐渐减小. 过冷度越大，液滴凝固时间越短. 经过在开始的瞬变凝固阶段之后，温度场从设定的初始分 布迅速地调整为由过冷度、表面张力、界面动力学参数等所确定的特定温度分布. 关键词 粉末金属；凝固；形核；渐近分析 分类号 TF123 Solidification of metallic droplets based on homogeneous nucleation CHEN Ming-wen 1), WANG Yi-nan 1), ZHANG Hong 2), WANG Zi-dong2) 1) School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) School of Materials Science and Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China Corresponding author, E-mail: wangzd@mater.ustb.edu.cn ABSTRACT The solidification of metallic droplets based on homogeneous nucleation is studied by a mathematical model of nucleus growth in metallic droplets. An asymptotic solution to the model is obtained by the asymptotic analysis method. The effects of surface tension, interface kinetic parameter, initial nucleus size, and undercooling on the growth rate, radius, and solidification time of the nucleus are analyzed on the basis of the asymptotic solution. It is found that surface tension and interface kinetics parameter significantly decrease the growth rate of the nucleus under a certain undercooling condition. The growth rate of the nucleus rapidly rises in the initial short period of solidification. After the growth rate of the nucleus reaches its maximum, it gradually descends with the increase of nucleus radius. In the meantime, the effects of surface tension and interface kinetic parameter on the growth rate of the nucleus decline gradually. With the increase of undercooling, the solidification time of the droplet decreases. After transient solidification within the initial short period, the temperature distribution in the droplet is rapidly modified from some initial distribution to a certain temperature distribution determined by undercooling, surface tension, interface kinetic parameter, etc. KEY WORDS powder metals; solidification; nucleation; asymptotic analysis 气雾化粉末制备技术是将金属液破碎成细小 弥散的液滴，获得细小均匀晶粒组织，以制备高性 能的合金粉末. 金属液滴凝固过程中，晶核生长 界面、尺寸等材料微观组织的变化对材料的韧性、 强度、硬度等力学性能有重要的影响，过冷度直接 影响到金属粉末的组织状态，凝固速度越大，显微 组织越精细、越均匀 [1−2] . 人们对于热交换支配 的雾化金属液滴凝固过程以及在达到快速凝固速率 的形核之前的亚过冷状态做了大量的理论分析和模 拟 [3−6]，期望在实际凝固过程中获得更高的热交换 收稿日期：2012–03–04 基金项目：国家自然科学基金资助项目 (10972030；50904005)；中央高校基本科研业务专项 (FRF-BR-11-034B)；材料先进制备技 术教育部重点实验室开放课题 (KLAMP-1102)；教育部博士点基金资助项目 (20100006110026) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2013.06.006

.734 北京科技大学学报 第35卷 率和冷却率.Le等[可模拟了气体初速度和液态金 设凝固过程中晶核的液-固界面用r=R(t) 属过热对单一液滴凝固行为的影响.Sobolev等9 表示（如图1），界面将整个凝固体系分为三个区 基于液滴从表面向内凝固以及液滴外表面凝固层初 域：(1)液相区域，R(t)<r<Rc:(2)球状的固 始厚度为定值的假设，用差分方法进行了数值模拟. 相内核，0<r<R(t):(3)液滴周围的冷却介质 陈永强和徐鉴君回对于液滴从外表面向内凝固的 层，r>RG.在球面坐标系下，液、固两相内的温 过程应用渐近分析法获得了温度场和界面在整个物 度场方程： 理区域的一致有效渐近解，揭示了在小过冷度条件 OTL 下液滴在不同生长条件下的凝固时间和温度分布规 =KLV2TL:R(t)<r<RG; (1) Ot 律.Mitura和Frenklach等在实验中发现在冷却的 oTs =s72Ts,0<r<R(t). (2) 气相中发生均匀形核o-14.Liu和Dandy分 8t 析了形核机理和形核增强方法，指出对于均匀形核 冷却介质层 以及均匀形核对于不同沉积过程的贡献有待于进一 液相 步理解.Gil等1同应用拟自由边界近似法研究了 R日 均匀形核的金属液滴凝固过程，结果表明在再辉中 固相 大过冷导致大的热交换率，在再辉之后外部对流换 RG 热占主导地位，表面张力和初始过冷度对液滴凝固 过程有重要影响.然而，在金属液滴的凝固过程中 图1均匀形核的金属液滴凝固示意图 品核生长问题是一个具有多尺度的自由边值问题， Fig.1 Sketch of homogeneous nucleation of a metallic 不断生长的晶核界面也是问题解的一部分，温度场 droplet 在界面附近存在边界层，单一尺度的数值模拟难以 界面条件如下. 获得可靠的信息，Gil等1（所得的解不是一致有 (1)在液-固界面r=R(t)上， 效的：另一方面，液滴凝固问题涉及一个复杂的含 有多个尺度的偏微分方程自由边值问题，一般不可 TL Ts Ti. (3) 能求出精确的解析解，因而金属液滴凝固行为的模 与G山的界面条件不同，本文采用下面的Gbbs 拟对于液滴在形核和晶核长大共同作用的凝固，特 Thomson条件并考虑了界面动力学过冷的作用： 别是形核和再辉阶段的组织演化难以做出准确的描 述可.渐近分析法是分析多尺度问题获得近似解 所=0+2)股 (4) 析解的有效方法18-1.本文应用渐近分析法研究 在大Stefan数条件下基于金属液滴均匀形核的凝 因为晶核长大引起界面不断变化，所以当考虑界面 固过程，分析表面张力、过冷度、界面动力学参数 伸缩能时，熵守恒条件为 及晶核尺寸对晶核界面生长的影响，揭示形核和晶 AH dR aT's kt ar 二ks0r aTL (5) 核生长的温度分布和组织演化规律 t (2)在界面r=RG上， 1数学模型和求解 1.1数学模型 OTL h(Ti -To). kL Or (6) 界面的初始条件t=0时， 基于均匀形核的金属液滴的凝固过程，假设在 温度小于凝固点温度T的雾化冷却介质环境中有 R(0)=To, (7) 一半径为Rc的金属液滴，在其中心处有一个半径 T(r,0)=Tt, (8) 为。的核，由于过冷作用，这个液滴不断冷却而 凝固.为了简单起见，假设：(1)液相和固相的密度 Ts(r,0)=T. (9) 和比热容分别相等，即ps=pL=p,cps=p,L= 式中：T和Ts分别表示液滴内液相和固相的温度； cp:(2)由于金属液滴非常小，直径大约为10~50 L和s分别为液相和固相中的热扩散系数，s和 um,液相中没有热对流运动：(3)冷却介质层为气 :分别为液相和固相中的热传导系数，L= 体层，凝固过程中远离形核核心的远场气体层温度 Cpp ks 为T(T<T). Ks ；K为液-固界面平均曲率：Y为表面张 Cpp

· 734 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 率和冷却率. Lee 等 [7] 模拟了气体初速度和液态金 属过热对单一液滴凝固行为的影响. Sobolev 等 [8] 基于液滴从表面向内凝固以及液滴外表面凝固层初 始厚度为定值的假设，用差分方法进行了数值模拟. 陈永强和徐鉴君 [9] 对于液滴从外表面向内凝固的 过程应用渐近分析法获得了温度场和界面在整个物 理区域的一致有效渐近解，揭示了在小过冷度条件 下液滴在不同生长条件下的凝固时间和温度分布规 律. Mitura 和 Frenklach 等在实验中发现在冷却的 气相中发生均匀形核 [10−14]. Liu 和 Dandy [15] 分 析了形核机理和形核增强方法，指出对于均匀形核 以及均匀形核对于不同沉积过程的贡献有待于进一 步理解. Gill 等 [16] 应用拟自由边界近似法研究了 均匀形核的金属液滴凝固过程，结果表明在再辉中 大过冷导致大的热交换率，在再辉之后外部对流换 热占主导地位，表面张力和初始过冷度对液滴凝固 过程有重要影响. 然而，在金属液滴的凝固过程中 晶核生长问题是一个具有多尺度的自由边值问题， 不断生长的晶核界面也是问题解的一部分，温度场 在界面附近存在边界层，单一尺度的数值模拟难以 获得可靠的信息，Gill 等 [16] 所得的解不是一致有 效的; 另一方面，液滴凝固问题涉及一个复杂的含 有多个尺度的偏微分方程自由边值问题，一般不可 能求出精确的解析解，因而金属液滴凝固行为的模 拟对于液滴在形核和晶核长大共同作用的凝固，特 别是形核和再辉阶段的组织演化难以做出准确的描 述 [17] . 渐近分析法是分析多尺度问题获得近似解 析解的有效方法 [18−19] . 本文应用渐近分析法研究 在大 Stefan 数条件下基于金属液滴均匀形核的凝 固过程，分析表面张力、过冷度、界面动力学参数 及晶核尺寸对晶核界面生长的影响，揭示形核和晶 核生长的温度分布和组织演化规律. 1 数学模型和求解 1.1 数学模型 基于均匀形核的金属液滴的凝固过程，假设在 温度小于凝固点温度 TM 的雾化冷却介质环境中有 一半径为 RG 的金属液滴，在其中心处有一个半径 为 r0 的核，由于过冷作用，这个液滴不断冷却而 凝固. 为了简单起见，假设：(1) 液相和固相的密度 和比热容分别相等，即 ρS = ρL = ρ，cp,S = cp,L = cp；(2) 由于金属液滴非常小，直径大约为 10∼50 µm，液相中没有热对流运动；(3) 冷却介质层为气 体层，凝固过程中远离形核核心的远场气体层温度 为 T∞(T∞ < TM). 设凝固过程中晶核的液 - 固界面用 r = R(t) 表示 (如图 1)，界面将整个凝固体系分为三个区 域：(1) 液相区域，R(t) < r < RG；(2) 球状的固 相内核，0 < r < R(t)；(3) 液滴周围的冷却介质 层，r > RG. 在球面坐标系下，液、固两相内的温 度场方程： ∂TL ∂t = κL∇2TL, R(t) < r < RG; (1) ∂TS ∂t = κS∇2TS, 0 < r < R(t). (2) 图 1 均匀形核的金属液滴凝固示意图 Fig.1 Sketch of homogeneous nucleation of a metallic droplet 界面条件如下. (1) 在液–固界面 r = R(t) 上， TL = TS = TI . (3) 与 Gill 的界面条件不同，本文采用下面的 Gibbs￾Thomson 条件并考虑了界面动力学过冷的作用: TI = TM ³ 1 + 2K γ ∆H ´ − 1 µ dR dt . (4) 因为晶核长大引起界面不断变化，所以当考虑界面 伸缩能时，熵守恒条件为 ∆H dR dt = kS ∂TS ∂r − kL ∂TL ∂r . (5) (2) 在界面 r = RG 上， −kL ∂TL ∂r = h (TL − T∞). (6) 界面的初始条件 t = 0 时， R(0) = r0, (7) TL(r, 0) = T ∗ L , (8) TS(r, 0) = T ∗ S . (9) 式中：TL 和 TS 分别表示液滴内液相和固相的温度； κL 和 κS 分别为液相和固相中的热扩散系数，kS 和 kL 分别为液相和固相中的热传导系数，κL = kL cpρ ， κS = kS cpρ ；K 为液–固界面平均曲率；γ 为表面张

第6期 陈明文等：基于均匀形核的金属液滴凝固过程 735· 力：μ为界面动力学系数：△H为单位体积的熔化 偏导数为O(1)量级，当ε→0时对温度和品核界 潜热：h为气液界面的对流热传递系数（本文取为 面作如下渐近展开： 定值) 选择以o为长度尺度，以过冷度△T=TM- TL=Ti0+eT1+·, (19) k△T为 T。为温度尺度，以界面特征速度V=会 Ts=Ts0+eTs1+…, (20) 速度尺度，以罗为时间尺度，引入下面的量纲一 R(t)=Ro(t)+eR(t)+·· (21) 的量， 将式(19)~(21)代入方程(10)~(11)，得到各阶近似 元=五，元=s- △T 方程和定解条件. △T 1.2.1首阶近似方程 /下，间=囤 =,=t 72T0=0,72Ts0=0. (22) 则得到如下量纲一的热传导方程和定解条件（为书 写方便，以下省略量纲一的量上部的“-”： 界面条件如下. (1)在液-固界面上， OTL =V2TL,R(t)<r<RGi (10) TLo Tso, (23) 证=2Ts,0<r<Rt. (11) Tso=-Ro -C-iMdRo t (24) 界面条件如下. dRo=k1s0-T巴， (25) dt (1)在液-固界面r=(t)上， (2)在界面r=Rc上， TL =Ts Ti, (12) 8M0=s(I0+1). (26) ∂r 五=-月-c-1 dt (13) 界面的初始条件t=0时， -婴-册 Ro(0)=1. dt (14) (27) (2)在界面r=RG上， 进一步求得拉普拉斯方程(22)满足界面条件 (23)~(26)的解： =s(+1) 一0r (15) 界面的初始条件t=0时， Ts0=- 大、 （+成》 1 +C-1M R(0)=1, (16) (28) Ti0=- -C-1M9 T(r,0)=Tt, (17) Ro Ro Ts(r,0)=Ts. (18) 1) +1-C-1M dt 1 11 (29) AH 式中：k=,=③，C= ,M= s昭+-R KL CpPTM μroTMCpP 为界面动力学参数：T= 2yTM dRo 一 -+1 为表面张力参 ro△H△T (30) dt 哈 1 1 1 数：s=h0为对流换热参数：e=△Tep/△H为 +C-1M 过冷度参数，在金属液滴凝固过程中，当ε《1时， 式(30)描述了液滴尺寸确定时首阶界面生长速度 选取e作为小参数. 与晶核半径的关系.令B=0,得到临界形核半 dt 1.2求解 径=T.还原纲量，得到临界形核半径 下面用渐近分析方法对模型方程(10)~(18)进 2yTM 行求解.假设方程(10)和(11)中温度对于时间的 R,=△H△T (31)

第 6 期 陈明文等：基于均匀形核的金属液滴凝固过程 735 ·· 力；µ 为界面动力学系数；∆H 为单位体积的熔化 潜热；h 为气液界面的对流热传递系数 (本文取为 定值). 选择以 r0 为长度尺度，以过冷度 ∆T = TM − T∞ 为温度尺度，以界面特征速度 V = kL∆T ∆Hr0 为 速度尺度，以 r0 V 为时间尺度，引入下面的量纲一 的量， T¯ L = TL − TM ∆T , T¯ S = TS − TM ∆T , r¯ = r r0 ,t¯= t r0/V , R¯(t¯) = R(t) r0 , 则得到如下量纲一的热传导方程和定解条件 (为书 写方便，以下省略量纲一的量上部的 “−”): ε ∂TL ∂t = ∇2TL, R(t) < r < RG; (10) ε ∂TS ∂t = κ∇2TS, 0 < r < R(t). (11) 界面条件如下. (1) 在液–固界面 r = R(t) 上， TL = TS = TI , (12) TI = − Γ R − C −1M dR dt , (13) dR dt = k ∂TS ∂r − ∂TL ∂r . (14) (2) 在界面 r = RG 上， − ∂TL ∂r = s (TL + 1). (15) 界面的初始条件 t = 0 时， R(0) = 1, (16) TL(r, 0) = T ∗ L , (17) TS(r, 0) = T ∗ S . (18) 式中：k = kS kL ，κ = κS κL ，C = ∆H cpρTM ，M = kL µr0TMcpρ 为界面动力学参数；Γ = 2γTM r0∆H∆T 为表面张力参 数；s = hr0 kL 为对流换热参数；ε = ∆T cpρ/∆H 为 过冷度参数，在金属液滴凝固过程中，当 ε ¿ 1 时， 选取 ε 作为小参数. 1.2 求解 下面用渐近分析方法对模型方程 (10)∼(18) 进 行求解. 假设方程 (10) 和 (11) 中温度对于时间的 偏导数为 O(1) 量级，当 ε → 0 时对温度和晶核界 面作如下渐近展开： TL = TL0 + εTL1 + · · · , (19) TS = TS0 + εTS1 + · · · , (20) R(t) = R0(t) + εR1(t) + · · · . (21) 将式 (19)∼(21) 代入方程 (10)∼(11)，得到各阶近似 方程和定解条件. 1.2.1 首阶近似方程 ∇2TL0 = 0, ∇2TS0 = 0. (22) 界面条件如下. (1) 在液–固界面上， TL0 = TS0, (23) TS0 = − Γ R0 − C −1M dR0 dt , (24) dR0 dt = k ∂TS0 ∂r − ∂TL0 ∂r . (25) (2) 在界面 r = RG 上， − ∂TL0 ∂r = s (TL0 + 1). (26) 界面的初始条件 t = 0 时， R0(0) = 1. (27) 进一步求得拉普拉斯方程 (22) 满足界面条件 (23)∼(26) 的解： TS0 = − Γ R0 + µ Γ R0 − 1 ¶ C −1M R2 0 µ 1 sR2 G + 1 R0 − 1 RG ¶ + C−1M , (28) TL0 = − Γ R0 − C −1M dR0 dt + µ 1 r − 1 R0 ¶ − Γ R0 + 1 − C −1M dR0 dt 1 sR2 G + 1 R0 − 1 RG , (29) dR0 dt = − Γ R0 + 1 R2 0 µ 1 sR2 G + 1 R0 − 1 RG ¶ + C−1M . (30) 式 (30) 描述了液滴尺寸确定时首阶界面生长速度 与晶核半径的关系. 令 dR0 dt = 0，得到临界形核半 径 R0 = Γ. 还原纲量，得到临界形核半径 R∗ = 2γTM ∆H∆T . (31)

.736 北京科技大学学报 第35卷 若选取满足ro>R。的长度尺度To,利用初始条件 Ts1(r,0)=0. (42) (27),则可以通过初等积分法得到液滴凝固时间与 根据方程及定解条件求解得： 晶核半径的隐函数关系式为 R daso().(43) (-1)+ R昭 dt+ 6k dt +(底)属-+ T1= TB-C-MB+dao(r2-R昭t dt +6 di 11 c-n+r+(赢)小}x 2 dt (44) daso(t)1 daLo(t) [-+rh-月 (32) dt= -3Ro dt 当Ro=Rc时，可以得到液滴凝固时间ts: 的a0+凳 2 dt (45) s=()-+ 其中 C1= 北+（底忘）小磁-+ 2sB险-RR跽C-1MsdB+2nRA1 Ro dt RG {c-+r+(底)小}x (sR略-RoRG+Ro) RG-I (RG-1)+r-F (33) 后BR聪(s+2RG-sR)ao) (sRG-RoRG Ro) 1.2.2 一阶近似方程 2RoR (sRG-sRo+1)o(t) OTLo =V2TLi, 8t (34) (sR -Ro RG Ro) 8Ts0=72Ts1 o=元-C-1w- dro (35) Ot dt dt (1)在液-固界面上， hu0=论 TL =Ts1, (36) asn)=一R -C-1MdRo 51-B-Cl dt R路 dt (37) 1.2.3时间意义的内解 dR=k证s--△G20R1. (38) 从式(28)~(29)可以看出，当t→0时Ts0 dt Or (,0)和To(r,0)不能满足预先设定的初始条件 式中，△G20= Tio ,02Ts0 (17)~(18).原因是在开始很短时间O(roe/W)或 .0r2 r2 (2)在界面r=Rc上， O(/L)内温度场有一个瞬变凝固阶段，温度场 关于时间的变化率不是O(1)量级而是O(1/e)量 _-T0R1=sL: (39) 级.以铜液滴的凝固为例（见表1），对于直径大约 0r2 为10~50m的铜液滴，理论上，这个瞬变阶段时 界面初始条件： 间约在0.008900.22307s的范围内.为此需要在初 R(0)=0, 始时段引入关于时间的内变量t=t/e,求出温度场 40) 和晶核界面关于时间的内解，说明它满足预先给定 T1(r,0)=0, (41) 的初始条件(17)(18). 表1铜液滴的物理参数 Table 1 Physical properties of Cu droplets y/(J.m-2) △H/(kJ.kg-1) TM/K P/(kg·m-3) cp/(J.kg-1.K-1) kL/(J.m-1.K-1.s-1) 1.103 205 1356 8900 387 386

· 736 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 若选取满足 r0 > R∗ 的长度尺度 r0，利用初始条件 (27)，则可以通过初等积分法得到液滴凝固时间与 晶核半径的隐函数关系式为 t = 1 3 µ 1 sR2 G − 1 RG ¶ ¡ R 3 0 − 1 ¢ + 1 2 · 1 + µ 1 sR2 G − 1 RG ¶ Γ ¸ ¡ R 2 0 − 1 ¢ + ½ C −1M + Γ · 1 + µ 1 sR2 G − 1 RG ¶ Γ ¸¾ × · (R0 − 1) + Γ ln R0 − Γ 1 − Γ ¸ . (32) 当 R0 = RG 时，可以得到液滴凝固时间 tS: tS = 1 3 µ 1 sR2 G − 1 RG ¶ ¡ R 3 G − 1 ¢ + 1 2 · 1 + µ 1 sR2 G − 1 RG ¶ Γ ¸ ¡ R 2 G − 1 ¢ + ½ C −1M + Γ · 1 + µ 1 sR2 G − 1 RG ¶ Γ ¸¾ × · (RG − 1) + Γ ln RG − Γ 1 − Γ ¸ . (33) 1.2.2 一阶近似方程 ∂TL0 ∂t = ∇2TL1, (34) ∂TS0 ∂t = κ∇2TS1. (35) (1) 在液–固界面上， TL1 = TS1, (36) TS1 = ΓR1 R2 0 − C −1M dR1 dt , (37) dR1 dt = k ∂TS1 ∂r − ∂TL1 ∂r − ∆G20R1. (38) 式中，∆G20 = ∂ 2TL0 ∂r2 − k ∂ 2TS0 ∂r2 . (2) 在界面 r = RG 上， − ∂TL1 ∂r − ∂ 2TL0 ∂r2 R1 = sTL1. (39) 界面初始条件: R1(0) = 0, (40) TL1(r, 0) = 0, (41) TS1(r, 0) = 0. (42) 根据方程及定解条件求解得: TS1 = ΓR1 R2 0 −C −1M dR1 dt + 1 6κ daS0(t) dt (r 2−R 2 0 ), (43) TL1 = ΓR1 R2 0 − C −1M dR1 dt + 1 6 daL0(t) dt (r 2 − R 2 0 )+ 1 2 dbL0(t) dt (r − R0) + µ 1 r − 1 R0 ¶ C1, (44) dR1 dt = k 3κ R0 daS0(t) dt − 1 3 R0 daL0(t) dt − 1 2 dbL0(t) dt − ΓbL0(t) R3 0 + C1 R2 0 . (45) 其中 C1 = 2sR1R2 G R0 − R0R2 GC −1MsdR1 dt + 2bL0(t) RG R0R1 (sR2 G − R0RG + R0) + 1 6 R0R2 G(sR2 G + 2RG − sR2 0 )a 0 L0(t) (sR2 G − R0RG + R0) + 1 2 R0R2 G(sRG − sR0 + 1)b 0 L0(t) (sR2 G − R0RG + R0) , aL0(t) = − Γ R0 − C −1M dR0 dt − R0 dR0 dt , bL0(t) = R 2 0 dR0 dt , aS0(t) = − Γ R0 − C −1M dR0 dt . 1.2.3 时间意义的内解 从式 (28)∼(29) 可以看出，当 t → 0 时 TS0 (r, 0) 和 TL0(r, 0) 不能满足预先设定的初始条件 (17)∼(18). 原因是在开始很短时间 O(r0ε/V ) 或 O(r 2 0/κL) 内温度场有一个瞬变凝固阶段，温度场 关于时间的变化率不是 O(1) 量级而是 O(1/ε) 量 级. 以铜液滴的凝固为例 (见表 1)，对于直径大约 为 10∼50 µm 的铜液滴，理论上，这个瞬变阶段时 间约在 0.00890∼0.22307 s 的范围内. 为此需要在初 始时段引入关于时间的内变量 tˆ= t/ε，求出温度场 和晶核界面关于时间的内解，说明它满足预先给定 的初始条件 (17)∼(18). 表 1 铜液滴的物理参数 [9] Table 1 Physical properties of Cu droplets γ/(J · m−2 ) ∆H/(kJ · kg−1 ) TM/K ρ/(kg · m−3 ) cp/(J · kg−1 · K−1 ) kL/(J · m−1 · K−1 · s−1 ) 1.103 205 1356 8900 387 386

第6期 陈明文等：基于均匀形核的金属液滴凝固过程 737· 由方程(10)~(11)得到温度场和晶核界面的内 解{T,s,的方程 2 T+T- (T-1)C-1M aT =V"TL of OTs =KV2Ts. (46) 8+1 1 RG +C-M 1 at 界面条件(12)~(14)变为 -+1 e-xn2x2i (57) nar TL=Ts, (47) o(①=1. (58) e五=-eI-C-1M df (48) -(-) 式中，n=Re-a=1,2…以 (49) 进一步可求出温度场和晶核界面内解的其他 各阶近似.温度场和晶核界面关于时间的内解（⑤6） 当t=0时，初始条件(16)~(18)变为 和（⑤7）满足预先给定的初始条件(17)和(18).在 (0)=1, (50) 内解(56)和(57)中，当t一0时，T0一T0 (r,0),Tso→Tso(r,0),说明液滴凝固与液滴内温度 T(r,0)=Tt, (51) 场的初始温度分布关系很小，如果凝固过程中远离 Ts(r,0)=Ts. (52) 形核核心的远场气体层温度T。不变，那么经过在 将温度场和晶核界面内解作如下渐近展开：当 开始的瞬变凝固阶段，温度场从设定的初始温度分 e→0时， 布迅速地调整变为由过冷度、表面张力、界面动力 学参数等所确定的特定温度分布(19)~(21).这一 TL(r,i,s)=TLo(r,)+ETLI(r,)+..., 53) 结果与Davis1】和徐鉴君9)的结果是一致的.因 Ts(r,i,s)=Tso(r,t)+ETsi(r,)+..., (54) 此，求出了晶核生长数学模型在整个区域一致有效 的渐近解.Gi等[6研究了晶核生长问题，但是所 (t,e)=o(①+eR(©+…. (55) 得的解不是一致有效的，并且忽略了界面动力学影 利用分离变量法容易求得温度场和晶核界面内解的 响，因而只能局部地描述晶核生长. 首阶近似{T0,Ts0,R0}: 2分析 TLo(r,i)=-T+ 下面以纯铜液滴为例分析基于均匀形核的金 T-1 1 1 c-+1-)+ 属液滴凝固过程.纯铜的物理参数见表1. +1- -+C-1M 根据式(30)可得到界面移动速度随晶核半径 2 变化的关系曲线，如图2~3所示(RG=200,C= -i× 2.5 -T=0.08 --T-0.5 (-r+1)(1-Rc+C-'M)-RG(r+Ti) n4=D9 1 底+1- -+C-1M 1.5 e好 名r仁l”s通ar-lH 号10 0.5 2 R昭-1 +r+f+DC-i +1 RG +C-1M 20406080100120140160180200 gm Ro 图2在不同表面张力参数影响下液滴凝固速度随晶核半径 (56) 的变化(RG=200,C=0.3906,M=1.72×103) Fig.2 Variation of solidification velocity with interface ra- Tso(r,)=-I+ (T-1)C-1M +1- 1 1 +C-1M dius at different surface tension parameters (RG -200. C=0.3906,M=1.72×103)

第 6 期 陈明文等：基于均匀形核的金属液滴凝固过程 737 ·· 由方程 (10)∼(11) 得到温度场和晶核界面的内 解 n TL, TS, Rˆ o 的方程 ∂TL ∂tˆ = ∇2TL, ∂TS ∂tˆ = κ∇2TS. (46) 界面条件 (12)∼(14) 变为 TL = TS, (47) εTS = −εΓ − C −1M dRˆ dtˆ , (48) dRˆ dtˆ = ε µ k ∂TS ∂r − ∂TL ∂r ¶ . (49) 当 t = 0 时，初始条件 (16)∼(18) 变为 Rˆ(0) = 1, (50) TL(r, 0) = T ∗ L , (51) TS(r, 0) = T ∗ S . (52) 将温度场和晶核界面内解作如下渐近展开：当 ε → 0 时， TL(r,t, ε ˆ ) = TL0(r,tˆ) + εTL1(r,tˆ) + · · · , (53) TS(r,t, ε ˆ ) = TS0(r,tˆ) + εTS1(r,tˆ) + · · · , (54) Rˆ(t, ε ˆ ) = Rˆ 0(tˆ) + εRˆ 1(tˆ) + · · · . (55) 利用分离变量法容易求得温度场和晶核界面内解的 首阶近似 n TL0, TS0, Rˆ 0 o : TL0(r,tˆ) = −Γ+ Γ − 1 1 sR2 G + 1 − 1 RG + C−1M µ C −1M + 1 − 1 r ¶ + 2 R2 G − 1 ×   (−Γ + 1) ¡ 1 − RG + C −1M ¢ 1 sR2 G + 1 − 1 RG + C−1M − RG (Γ + T ∗ L)   × X∞ n=1 e −λ 2 ntˆ λnr (−1)n sin λn(r − 1)+ 2 R2 G − 1     T ∗ L + Γ + (−Γ + 1) C −1M 1 sR2 G + 1 − 1 RG + C−1M     × X∞ n=1 e −λ 2 ntˆ λnr sin λn(r − 1), (56) TS0(r,tˆ) = −Γ + (Γ − 1) C −1M µ 1 sR2 G + 1 − 1 RG ¶ + C−1M + 2   T ∗ S + Γ − (Γ − 1) C −1M 1 sR2 G + 1 − 1 RG + C−1M   × X∞ n=1 (−1)n+1 sin nπr nπr e −κn2π 2 tˆ , (57) Rˆ 0(tˆ) = 1. (58) 式中，λn = nπ RG − 1 (n = 1, 2, · · ·). 进一步可求出温度场和晶核界面内解的其他 各阶近似. 温度场和晶核界面关于时间的内解 (56) 和 (57) 满足预先给定的初始条件 (17) 和 (18). 在 内解 (56) 和 (57) 中，当 tˆ → ∞ 时，TL0 → TL0 (r, 0)，TS0 → TS0(r, 0)，说明液滴凝固与液滴内温度 场的初始温度分布关系很小，如果凝固过程中远离 形核核心的远场气体层温度 T∞ 不变，那么经过在 开始的瞬变凝固阶段，温度场从设定的初始温度分 布迅速地调整变为由过冷度、表面张力、界面动力 学参数等所确定的特定温度分布 (19)∼(21). 这一 结果与 Davis[18] 和徐鉴君 [19] 的结果是一致的. 因 此，求出了晶核生长数学模型在整个区域一致有效 的渐近解. Gill 等 [16] 研究了晶核生长问题，但是所 得的解不是一致有效的，并且忽略了界面动力学影 响，因而只能局部地描述晶核生长. 2 分析 下面以纯铜液滴为例分析基于均匀形核的金 属液滴凝固过程. 纯铜的物理参数见表 1. 根据式 (30) 可得到界面移动速度随晶核半径 变化的关系曲线，如图 2∼3 所示 (RG = 200，C = 图 2 在不同表面张力参数影响下液滴凝固速度随晶核半径 的变化 (RG = 200, C = 0.3906, M = 1.72 × 103 ) Fig.2 Variation of solidification velocity with interface ra￾dius at different surface tension parameters (RG = 200, C = 0.3906, M = 1.72 × 103 )