变量间的关系编码,以构成包含符号与规则的计算机程序的 形式被重新表达出来。不论是哪种情况,该模型是利用像F、 m和a这样的抽象符号对物理系统的一种表示。 最后,还有一种理论模型。这是一种想象的结构或过程 科学家发明它是为了解释所观察到的现象。这样的模型通常 经过类比相似的结构或过程而提出,其目的在于加深对现象 的理解。一个很好的例子是玻尔( Niels bohr)著名的类太阳系 原子模型,他认为可以将原子核与太阳进行类比,将原子中旋 转的电子类比为绕中心恒星旋转的行星。 与数学模型类似,这样的模型也是对某一真实世界情形 的一种符号表示,但人们可以从其目的为解释而非预测,将它 与数学模型区别开来。从根本上说,这意味着我们希望这种 模型是对过去的观测进行解释,而不是对未来的观测进行预 测。用数学或计算术语表达理论模型,理论模型经常可以转 化成数学模型。我们前面关于行星形成的例子,是这方面的 个好例子。在那里,我们从研究行星形成的理论模型,相互 作用的物质在万有引力的作用下合并成为行星系统出发,通 过将这些对象及其相互作用编码成计算机程序(其本身是 个形式化的数学结构),创建了行星形成过程的数学模型。反 过来,该模型可以用来预测,例如,在真实的宇宙中可能对观 测到的各种物理环境中的气体云的构成、旋转速度等进行 预测。 通过将上述简短的描述进行总结、分类,我们至少可以区 分4类模型:实验模型、逻辑模型、数学模型(计算模型)和理 论模型。本书中我们主要关心后两种模型,尤其是计算模型, 我们利用这些模型揭示诸如橄榄球赛结果、股票价格涨落和 生物形态形成等模式如何从诸如橄榄球队员、交易人和细胞 这样的独立主体的行为中产生的奥秘
各种情形的模型 正因为有不同类型的模型,每一种模型都有各自的特性、 优点和缺点,所以存在对模型的不同应用方式。对这些应用 的考察,可以使我们进一步理解好模型与差模型之间的区别。 在下面的三小节中,我们给出建立模型的很不详细的理由,这 是将好模型与差的、丑陋的模型区分开的要点。 预测模型 大概有史以来最著名的模型,是牛顿关于一组相互作用 的物体在万有引力作用下运动的数学描述。该模型提供了行 星如何运动的一个绘景,显示为什么两个物体之间的引力与 二者之间距离的平方成反比,为什么物体运动所画出的轨迹 呈椭圆形。因此,这是说明为什么行星那样运动的一个很好 的例子。对渔民、农场主及占星术士而言,更为重要的是,只 要我们今天可以测量行星的位置和运动的速率与方向,那么 牛顿的行星系统运动模型可以精确地计算未来任一给定时刻 各个行星的位置。 牛顿关于万有引力作用下物体运动的模型,被称之为预 测模型。这样的模型可以使我们基于系统的组成的性质及其 目前的行为,对系统的未来行为作出预测。著名的理想气体 定律是另一个此种类型的模型。该定律说明了在一个封闭容 器内,气体的压强P、温度T和体积V之间的关系:PW= nRT,其中n与R是所考虑的特定气体的特征常量。这样,利 用封闭气体行为的这一数学模型,我们可以肯定地预测:若将 温度升高,且保持体积不变,则容器内气体的压强将升高。事
实上,我们可以比这个定性的预测做得更好,即对给定的温度 增量给出压强确切变化多少的一个相当准确的估值。 解释模型 图14画出的是一个树形图,显示印欧语系及其地理分 布。它指出了各种现代欧洲语、斯拉夫语以及印第安语如何 发源于一种叫“原始印欧语”的古老语言,又如何西起欧洲大 陆、南至印度次大陆传播。 19世纪的德国语言学家施莱歇( August Schleicher),开创 了这种以树形图形式组织多种语言的思想。施菜歇将语言看 作是一个可以生长与衰退的机体,其变化可以用自然科学的 方法进行分析。树形图为该过程提供了一种模型,它发源于 语言学家对各种语言之间的形式相似性与差异性的识别工 作。从这一信息出发,他们试图根据所有可能产生出的形式 来确定语言发展的初期阶段。图1.5利用图底部的罗曼语父 亲的各种单词,显示出这一过程如何进行。我们可以看出,它 们如何从拉丁语per起源。即使拉丁语不再存在,它仍然可 能按这种方式,通过比较大量的单词而重新构造出它的许多 形式。母体语言不再存在时,可以进行相同的推理,拉丁语、 希腊语、梵语、威尔士语等都可以被比较,以重新构造图15 顶部给出的印欧语系形式。顺便说一句,该形式边上的星号 (米)指出它是一个重新构造的形式,还没有被文字记录所 证实。 图14中的树形图所表达的印欧语言演变模型,是解释 模型的例子。这样种模型的主要用途,不是用来预测一个 系统的未来行为,而是提供一个框架,在该框架中,可以将以 前的观察结果作为整体过程的组成部分进行理解。大概这类
古希腊语梵语 拉丁语哥特语古爱尔兰兼尔语爱斯基摩语 pa athir atrata 意大利语西班牙语法语葡萄牙语 加泰罗尼亚语 padre pere 图1.5单词 father(父亲)的树形图 模型中最著名的是达尔文的自然选择原理,通过它,人们可以 解释大约40亿年来在地球上繁衍过的各种类型生物的出现 与消亡。语言树与达尔文原理都很好地解释了所观察到的语 言与生物,它们都提供了一个总体结构,我们可以将许多已知 的事实恰当地放置到结构图中。然而,当用它来预测一个新 词或方言,或一种新生物的出现或消亡时,这些模型都变得无 能为力。我们从前面的牛顿方程中已经知道,解释模型有时 可以进行很好的预测。但通常情况下并非如此,尤其对于本 书后面将看到的演化过程的模型。 规范模型 我们至今已考虑过的预测模型与解秤模型都属于相当被 动的东西,它们告诉我们现实的某一片断,却没有赋予我们如 何按照我们自已的目标塑造现实的能力。规范模型弥补了这 不足,它向我们展示了真实世界的一幅图像,其中内置了各 种“机关”,我们可以扭动这些机关以发现现实可能如何向我 们的意愿偏转。这种模型在经济学与工程中屡见不鲜,但对 生物学家与物理学家可能有些陌生。让我们通过一个例子来
加深对这种思想的理解。 图1.6显示了工人、资金与材料的消耗与流动图,它们 起构成了一个国家经济生活的缩微体。例如该图显示了假如 其他因素完全不变,失业人数的增加将导致可雇用人数的增 长,而收入的上涨则使失业人数下降。因此,在这个经济模型 中,带符号的连接线向我们提供了一种方法,通过它,可以使 我们对国民经济中我们不喜欢的某些方面进行调整。例如, 考虑政治家们常年担心的失业问题。如果失业率达到令人难 以接受的程度,该模型表明,我们所需要做的是以某种方式增 加出口商品的生产,从而增加收入,接着就会促使失业人数的 进口资本货物 生产出口货物 进消费品 投资 购买|股票 生产资本货物 收人 生产消费品 中的支出 中的支出 决定投资 十 净利润 失业 利润期望 可雇用人口 图1.6国民经济模型