预测结果(比如橄榄球比赛的最终比分),不是来自最底层的 特性(比如根据单个的球员与教练作决定),而是来自于高层 特性,比如两个球队的传球与带球距离,它们各自的失球(漏 接球、被断球、射门被防住)的数目,以及第3次10码进攻的 有效性。很明显,这些特性由独立球员间的底层相互作用所 决定,这意味着像总推进距离这样的数量可以被认为是来自 球员间底层相互作用的突现现象。与单个球员的层次相比, 这些特性存在于较高的、聚集面更广的层次上,但比各队的得 分总数这个层次要低。在这样的模型中,我们不再关注单个 主体的活动,而是结合中间层次的数量(码数及失球数),通过 各种统计技术,提供一个关于这些因素对球队最终得多少分 的作用的预测。投资者将同样的方法用于估计股票的价格, 或农产品的交易价格,他们统计关于中间层次数量的信息,像 公司收入或下月佛罗里达的天气预报等等。 尽管我们在本书中的讨论集中在一种自底向上的、微世 界类型的模型,将其作为获取自然系统与人工系统的结构的 种方法,中间层模型却不应该仅仅被作为微世界提供的精 细分辨率替身世界的同类物而抛弃。最初,高层的粗粒分辨 率模型在相当原始的计算硬件上进行计算的实现方面具有不 可估量的优点(当然,这就是为什么在最近以前,它们一直在 计算模型中占主宰地位的主要原因)。不仅如此,这种模型经 常被巧妙地用于回答在给定设置时我们想知道的问题。比如 说,如果你所关心的是明天M股票价格将上涨还是下跌, 那么为了能够对价格走势作出较好的估计,你不需要知道股 市上每个交易人的详细情况,或者他们各自的心理,以及他们 当前的交易策略。通常你所需要的是下列信息:IM的季度 收入报告信息,联邦储备系统关于利率的可能行动,以及关于 最近股市局勢的某种感觉等等
所以,尽管后面的内容很少涉及这类中间层模型,请读者 记住在不得不构造个给定状况的模型时,不要马上认为微 世界是唯一可采用的(或更好的)方法,它仅仅是有些时候利 用更粗粒方法无法考虑系统时的一种可能的解决方法。记住 这个忠告,下一节我们将讨论关于真实世界的若干模型及其 相互关系。 遥远的太阳与行星状星云 不论是在微观层次、介观层次,还是在宏观层次,模型都 是为了表征现实的某个(或某些)侧面而被构造的。然而,与 副印象派作品类似(尽管印象派作品也表示现实,但却完全 不同于照片或者雕刻),不同种类的模型可能极为不同地描绘 了现实的同一片断。为了深入了解关于模型类别的总体思 想,以及从模型中可以学到什么,我们来考察一个十分具体的 问题:围绕中心恒星旋转的行星系统形成的建模。这是一个 发挥模型作用(无论好的还是坏的)的例子,它将帮助我们开 始熟谙那些可以将好模型(即有用模型)与冒牌模型区别开来 的特征。 如果我们严格地按照科学哲学中的传统思路来工作,行 星形成的建模过程将从观察开始。天文学家仰望天空,看到 在遥远的星系中旋转的巨大气体云。这些星云往往在引力作 用下收缩成高密度的集结物,它们据信最终成为我们称之为 恒星的中心团块,在其周围还伴有围绕它旋转的较小团块,它 们构成了伴随着该恒星的行星系统。 在收集大量关于这种气体云的观测资料后,行星学家们 就将气体云的质量,它们绕一颗(或几颗)中心恒星旋转的速 率,以及气体云自转得越来越快时从这些云分裂出来的团块
之数目和大小联系起来,以建构模式,或者说得出经验规律。 对这些气体云成分与性质之间关系的观测,是行星形成理论 的起点。这样的科学理论在传统上应被观测所检验,并通过 可重复的受控实验室实验进行改进。然而,因为与它们的太 阳(或在一个多恒星系统中的多个太阳)相比,这些天体发出 的光线太微弱,对这样的原行星进行直接观测极为困难,所以 研究人员无法通过观测或实验室实验对这些理论进行一般性 的检验。怎么办? 可做的事情之-,是在计算机中创建一个电子形式的旋 转星云,在其中引入已知的粒子引力作用、角动量和能量守恒 等物理定律。以这种方式,人们可以向以各种方式旋转着的 由各种成分组成的均匀星云中引人大量的物质。然后拭目以 待,看看会有什么样的行星产生。第一个这类实验,是兰德公 司的天体物理学家多尔( Stephen Dole)在几年前完成的。 多尔得到的结果之一见图1.3,为了进行比较,我们所在 的太阳系也被画出。行星的质量按照与地球质量的相对值来 表示(设地球的质量为1),到中心恒星的距离用天文单位 (AU)来度量,一个天文单位等于太阳与地球间的平均距离 在这个仿真行星系统图中,最左边的数字仅仅是各种例子的 标号,不同数量的物质被加人到初始的均匀星云中,以使聚集 过程开始进行。 这些仿真中最引人注目的地方,是所构造出的行星系统 与我们自身的太阳系之间的强相似性,至少在定性上是这样。 似乎有种明显的趋势,使这些气体云分裂成由许多内部小行 星组成的系统,并伴有一定数目的外部巨型气体。对于初始 气体云中杂质的随机非均匀散布,这张总体示意图似乎保持 不变。这为支持行星形成是一个相当普遍的现象(不管人们 在宇宙的何处发现旋转气体云)这一思想,提供了强有力的
间接证据。 这里的模型是什么?概括地说,它包含一些用来计算形 成气体云物质的物理特征的描述,以及这些物质按照物理和 (可能的)化学定律的相互作用。然后,这些关系被编码,成为 计算机能够理解的语言—比如 Fortran,C艹+,或 Pascal此 时,星云与行星的真实物质世界被映射(或编码)成为一种极 不相同的世界—一个计算对象世界。我们实际运行计算机 程序,观察图13所突现出的电子行星系统时,会很自然地产 生疑问:这些系统与我们在真实世界中所期望发现的系统之 间的相似度有多大?简言之,模型在多大程度上符合现实? 实际上,这个问题仅仅只是一个相当广泛问题的一个方面,也 是我们在本书的几乎每一页都要涉及的:这个模型有多好? 为回答这个基本问题,我们必须仔细地分析建模过程本身。 模型种种 对于那些将工作时间花费在测量风洞中机翼边缘气流模 式的人们,或者是翻阅《时尚》杂志的人们来说,前面对于模型 这个词的使用可能会引起一定的惊奇。对他们而言,模型或 者是某一真实世界对象的一个缩徽描述,例如一架飞机的机 身;或者是一个真实世界中人(例如你或我)的理想化描述。 不管是哪种情形,模型与数学符号或计算机程序没有任何 关系。 对于像上面的这些模型,我们称之为实验模型,因为它们 构成了现实的实体材料表示,这种表示或者具有某些从现实 中抽取的真实世界特征(例如奶瓶上的模型汽车或轮船),或 者将不完美的真实世界特征(像破鼻子或断腿)用理想化描述 来代替(例如时装模特的完美比例)。不管是哪种情形,这种
模型都是用来通过直接实验对某一类型的问题作出回答,例 如在不同的大气条件下气体如何流过机翼,或者用一种特殊 的布料做成一件完整的衣服时将是什么样的效果(不用真人 去穿)。然而,尽管这样的实验模型在日常生活与科学中都十 分重要,它们却不是我们在此处所关心的。我们的兴趣在于 由纯信息而非物质构成的模型。 当我们转到基于实体符号表示而非物理表示的模型时, 必须对各种各样风格迥异的模型进行区分。例如,数学中有 一个研究领域叫模型理论,专门研究我们称为逻辑模型的东 西。举个例子,假定我们有一个公理集合,和一套推理规则, 用于从一条公理出发,通过对公理使用形式的、逻辑的规则来 产生新的逻辑上正确的陈述。在这个层次上,公理陈述从推 理系统规则得到的陈述都仅仅是抽象符号的字符串,一个完 备的句法系统。模型理论家的目标在于发现具体的数学系 统,这些系统的操作规则忠实地反映给定抽象公理体系框架 的行为。换句话说,他们试图将意义赋予形式句法结构的规 则。例如,高中几何的点线集合是欧几里得几何形式化公理 的具体模型。模型理论家利用这些特定的点线系统,展示形 式化的公理系统,给出它的一个解释。不过,我们在本书中的 兴趣不在于这种模型理论意义下的模型理论。 处在风洞和人体模特这样的实际实验模型与简单、拙象 的逻辑模型之间的,才是我们在本书中的注意焦点,我们称之 为教学兼计算模型。这种模型的一个典型例子,是牛顿著名 的质点运动方程:F=m,它表示质点的加速度a与施加在 其上的力F及质点的质量m之间的关系。当我们写下一组 微分方程,此组方程的解告诉我们在一段时间内牛顿质点的 位置与速度变化情况时,我们是显式地以数学公式的形式描 述了-个模型。这一模型还可以隐式地通过将牛顿方程中各