2.等式与不等式 课后·训练提升 基础巩固 1.不等式-1<x≤2的解集为( A.[-2,2] B.-1,1] C.[-2,-1]U[1,2] D.[-2,-1)U(1,2] 解析：-1<x≤2台x≤2台-2≤x≤2 答案：A 2.由方程x24x+4=0的解和方程组y二2x2的解组成的集合是( (x-y=0 ) A{2,引 B{2,2引 c-{220} D.{2,0.0.(经》} 解析：由x2-4x+4=0,得x=2. 26母代=8戈 x=3 y=2 答案D 3.有四个不等式：①la>b1:②a<b,③a+b<ab:④a>b3.若<1<0，则不成立的不等 式的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由片<0可得b<a<0,从而la<l,①不成立a>b,②不成立，a+b<0,ab>0,则 a+b<ab成立，③成立；a3>b,④成立.故不成立的不等式的个数为2. 答案：C 4.设a=v2b=√7-V3,c=6-√2，则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.a>c>b C.b-a>c D.b>c>a 答案B 5不等式，≥1的解集是( ) A.(-0,-1)U(-1,2] B.[-1,2] C.(-0,2] D.(-1,2] 解析是≥1品≥0 “华≥0，即兴≤0，等价于-2X+10或x2=0,故：1<≤2 x+1
2.等式与不等式 课后· 基础巩固 1.不等式-1<|x|≤2 的解集为( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-2,-1)∪(1,2] 解析:-1<|x|≤2⇔|x|≤2⇔-2≤x≤2. 答案:A 2.由方程 x 2 -4x+4=0 的解和方程组{ 𝑦 = 2𝑥 2 , 𝑥-𝑦 = 0 的解组成的集合是( ) A.{2, 1 2 } B.{2,2, 1 2 , 1 2 } C.{2, 1 2 ,0} D.{2,(0,0), ( 1 2 , 1 2 )} 解析:由 x 2 -4x+4=0,得 x=2. 由{ 𝑦 = 2𝑥 2 , 𝑥-𝑦 = 0, 得 { 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 或{ 𝑥 = 1 2 , 𝑦 = 1 2 . 答案:D 3.有四个不等式:①|a|>|b|;②a<b;③a+b<ab;④a 3>b3 .若 1 𝑎 < 1 𝑏 <0,则不成立的不等 式的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由 1 𝑎 < 1 𝑏 <0 可得 b<a<0,从而|a|<|b|,①不成立;a>b,②不成立;a+b<0,ab>0,则 a+b<ab 成立,③成立;a 3>b3 ,④成立.故不成立的不等式的个数为 2. 答案:C 4.设 a=√2,b=√7 − √3,c=√6 − √2,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 答案:B 5.不等式 3 𝑥+1 ≥1 的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(-1,2] B.[-1,2] C.(-∞,2] D.(-1,2] 解析:∵ 3 𝑥+1 ≥1,∴ 3 𝑥+1 -1≥0, ∴ 3-𝑥-1 𝑥+1 ≥0,即 𝑥-2 𝑥+1 ≤0,等价于(x-2)(x+1)<0 或 x-2=0,故-1<x≤2
答案D 6.√(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为( A.9 B C.3 D.3VZ 解析：因为-6≤a≤3，所以3-a≥0，a+6≥0，则由均值不等式可知，√3-a(a+6≤ 色aat包=号当且仅当3a=a+6,即a=2时，等号成立 2 答案B 7已知xy均为正实数，且a+b=x+ycd=0则2的最小值是 解析@+b=42+栏+≥2+2任2=4或a+bh=x+≥迎=4，当且仅当 cd y y cd xy y x=y时，等号成立，故所求最小值为4. 答案4 8,若对任意的x>0+x+≤a恒成立，则实数a的取值范围是 解析：因为x>0,所以x+≥2（当且仅当x=1时，等号成立）， 所以x= 1 3≤=即43x的最大值为馆故a≥号 5 x2+3x+1 答案非，+ 9.不等式<x+1的解集是 x-1 答案：{xk>V2或-V2<x<1} 10.已知不等式a2+8b2≥b(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立，求实数1的取值范围 解：以a为主元，即a2-1ba+(8-)b2≥0，要使不等式对任意的实数a恒成立，只需 (1b)2-4(8-1)b2≤0，即(02+41-32)b2≤0，从而只需12+41-32≤0，解得-8≤1≤4. .己知函数)=x+兴m>0) (1)若m=1,求当x>1时函数x)的最小值： (2)当x<1时，函数x)有最大值-3，求实数m的值 解()当m=1时)=x+1+行+1.因为>1，所以x>0,所以x)=x 1+安+1≥2(x1)+1=3,当且仅当x1即x=2时，等号成立，所以当x1时， 函数x)的最小值为3 2)因为1，所以l<0,所以)=xl++1=(1-x+0)+1≤21)+1= 2Vm+1,当且仅当1x=即x=1m时，等号成立， 所以函数x)的最大值为-2√m+1,所以-2vm+1=-3,解得m=4 拓展提高 1.若m<n,p<g,且(p-mp-n)<0,(g-m)(g-n)<0,则m,n,p,q从小到大的排列顺序是 ()
答案:D 6.√(3-𝑎)(𝑎 + 6)(-6≤a≤3)的最大值为( ) A.9 B. 9 2 C.3 D. 3√2 2 解析:因为-6≤a≤3,所以 3-a≥0,a+6≥0,则由均值不等式可知,√(3-𝑎)(𝑎 + 6) ≤ (3-𝑎)+(𝑎+6) 2 = 9 2 ,当且仅当 3-a=a+6,即 a=- 3 2时,等号成立. 答案:B 7.已知 x,y 均为正实数,且 a+b=x+y,cd=xy,则 (𝑎+𝑏) 2 𝑐𝑑 的最小值是 . 解析: (𝑎+𝑏) 2 𝑐𝑑 = (𝑥+𝑦) 2 𝑥𝑦 =2+ 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑥≥2+2√ 𝑥 𝑦 · 𝑦 𝑥 =4 或 (𝑎+𝑏) 2 𝑐𝑑 = (𝑥+𝑦) 2 𝑥𝑦 ≥ 4𝑥𝑦 𝑥𝑦 =4,当且仅当 x=y 时,等号成立,故所求最小值为 4. 答案:4 8.若对任意的 x>0, 𝑥 𝑥 2 +3𝑥+1 ≤a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 解析:因为 x>0,所以 x+1 𝑥≥2(当且仅当 x=1 时,等号成立), 所以 𝑥 𝑥 2 +3𝑥+1 = 1 𝑥+ 1 𝑥 +3 ≤ 1 2+3 = 1 5 ,即 𝑥 𝑥 2 +3𝑥+1 的最大值为1 5 ,故 a≥ 1 5 . 答案:[ 1 5 , + ∞) 9.不等式 1 𝑥-1 <x+1 的解集是 . 答案:{x|x>√2或-√2<x<1} 10.已知不等式 a 2+8b 2≥λb(a+b)对于任意的 a,b∈R 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 解:以 a 为主元,即 a 2 -λba+(8-λ)b 2≥0,要使不等式对任意的实数 a 恒成立,只需 (λb) 2 -4(8-λ)b 2≤0,即(λ 2+4λ-32)b 2≤0,从而只需 λ 2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4. 11.已知函数 f(x)=x+ 𝑚 𝑥-1 (m>0). (1)若 m=1,求当 x>1 时函数 f(x)的最小值; (2)当 x<1 时,函数 f(x)有最大值-3,求实数 m 的值. 解:(1)当 m=1 时,f(x)=x+ 1 𝑥-1 =x-1+ 1 𝑥-1 +1.因为 x>1,所以 x-1>0,所以 f(x)=x- 1+ 1 𝑥-1 +1≥2√(𝑥-1)· 1 𝑥-1 +1=3,当且仅当 x-1= 1 𝑥-1 ,即 x=2 时,等号成立,所以当 x>1 时, 函数 f(x)的最小值为 3. (2)因为 x<1,所以 x-1<0,所以 f(x)=x-1+ 𝒎 𝒙-𝟏 +1=-(𝟏-𝒙 + 𝒎 𝟏-𝒙 )+1≤-2√(𝟏-𝒙)· 𝒎 𝟏-𝒙 +1=- 2√𝒎+1,当且仅当 1-x= 𝒎 𝟏-𝒙 ,即 x=1-√𝒎时,等号成立, 所以函数 f(x)的最大值为-2√𝒎+1,所以-2√𝒎+1=-3,解得 m=4. 拓展提高 1.若 m<n,p<q,且(p-m)(p-n)<0,(q-m)·(q-n)<0,则 m,n,p,q 从小到大的排列顺序是 ( )
A.m<p<q<n B.p<m<q<n C.m<p<n<q D.p<m<n<q 解析：，(q-m)(q-n)K0 ∴.m,n一个大于9，一个小于q .m<n,..m<q<n. .(p-m)p-m)<0, .m,n一个大于p,一个小于p. ,m<n,∴.m<p<n. .p<q...m<p<q<n. 答案：A 2.设a,b∈R,定义运算“∧”和V”如下： aAb-8a三bavb-aa la,a>b 若正数a,b,c,d满足ab≥4，c+d≤4，则() A.a∧b≥2，c∧d≤2 B.a∧b≥2，cVd≥2 C.aVb≥2，c∧d≤2 D.aVb≥2，cVd≥2 解析：易知“∧”和“V”运算就是取最小值和最大值的运算 由ab≥4，得a,b中至少有一个大于或等于2，否则ab<4,即aVb≥2；同理，由 c+d≤4，得c,d中至少有一个小于或等于2，即c∧d≤2. 答案：C 3.若不等式x2+2x-3>0的解集为M,使关于x的不等式x2+ax+1≥0恒成立的实数 a的取值范围是集合N,则M∩N=() A.(1,2] B.(-0,-3)U(1,2] C.(-0,-2]U[2,+w）D.(-3,1) 解析：由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1, 则M=(-0,-3)U(1,+0). 若x2+ax+1≥0恒成立，则=a2-4≤0， ∴.-2≤a≤2，.N=[-2,2] .MnN=(1,2]. 答案：A 4.已知不等式x+y(+9)≥9对任意正实数xy恒成立，则正实数a的最小值为 () A.2 B.4 C.6 D.8 解析：由不等式+y促+)≥9对任意正实数xy恒成立， 得x+任+≥(1+v@2≥9， ∴√a≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4. 答案B
A.m<p<q<n B.p<m<q<n C.m<p<n<q D.p<m<n<q 解析:∵(q-m)(q-n)<0, ∴m,n 一个大于 q,一个小于 q. ∵m<n,∴m<q<n. ∵(p-m)(p-n)<0, ∴m,n 一个大于 p,一个小于 p. ∵m<n,∴m<p<n. ∵p<q,∴m<p<q<n. 答案:A 2.设 a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下: a∧b={ 𝒂,𝒂 ≤ 𝒃, 𝒃,𝒂 > 𝒃, a∨b={ 𝒃,𝒂 ≤ 𝒃, 𝒂,𝒂 > 𝒃. 若正数 a,b,c,d 满足 ab≥4,c+d≤4,则( ) A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2 C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2 解析:易知“∧”和“∨”运算就是取最小值和最大值的运算. 由 ab≥4,得 a,b 中至少有一个大于或等于 2,否则 ab<4,即 a∨b≥2;同理,由 c+d≤4,得 c,d 中至少有一个小于或等于 2,即 c∧d≤2. 答案:C 3.若不等式 x 2+2x-3>0 的解集为 M,使关于 x 的不等式 x 2+ax+1≥0 恒成立的实数 a 的取值范围是集合 N,则 M∩N=( ) A.(1,2] B.(-∞,-3)∪(1,2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-3,1) 解析:由 x 2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1, 则 M=(-∞,-3)∪(1,+∞). 若 x 2+ax+1≥0 恒成立,则 Δ=a2 -4≤0, ∴-2≤a≤2,∴N=[-2,2]. ∴M∩N=(1,2]. 答案:A 4.已知不等式(x+y)( 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝒚 )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:由不等式(x+y)( 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝒚 )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立, 得(x+y)( 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝒚 )≥(1+√𝒂) 2≥9, ∴√𝒂≥2,即 a≥4,故正实数 a 的最小值为 4. 答案:B
5.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式的值最大的是() A.a1b1+a2b2 B.aaz+b1b2 C.ab2+azbi D时 解析：由0<am<m,0<b1<b,得a1m+bib<(色)2+（色2）'=贵 又a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)b1+(a2-a1)b2=(a2-a1)(b2-b1)>0,所以 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 注意到1=(a1+a2b1+b2)=a1b1+a2b2+abz+ab1<2(ab1+ab2),所以amb1+a2b2>2 综上可知，a1b1+a2b2最大 答案：A 6设x均为正数，且站+=则y的最小值为 解析：由右十3本=得20=x+2+3≥2√2y+3,当且仅当x=2y,即x=3y2时， 等号成立，则√可≥3则≥所以y的最小值为 答案 7.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范 围是 解析：关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可转化为(x-1)x-a)<0. 当a=1时，不合题意； 当a>1时，1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4， 则4<a≤5； 当a<1时，a<x<1,此时解集中的整数为-2，-1,0， 则-3≤a<-2. 故a的取值范围是[-3，-2)U(4,5] 答案[-3，-2)U(4,5] &.己知a,b∈(0,1)，关于x的不等式ar2+x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在0 ∈R使x6+0+a=0成立，则品+品的最小值为 解析：因为不等式a2+x+b≥0对于一切实数x恒成立，所以对应方程的根的判别 式小1=1-4ab≤0，即4ab≥1.又存在x和∈R,使bx行+xo+a=0成立，所以=1-4ab≥0 即4ab≤1，所以4ab=1,即6-点所以品+品=品+ 4a 14a 4a+4a-lX号+品44a+4a-l)×+2=2+号4a+2+2≥4+5×2⑧-4+9 2 4-4a 4a-1 （当且仅当4四=2440时，等号成立），所以二十二的最小值为4+4区 44a 4a-1 1-a 1-b 答案4+4 9.解不等式：-2<x2-3x≤10
5.若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式的值最大的是( ) A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 D. 𝟏 𝟐 解析:由 0<a1<a2,0<b1<b2,得 a1a2+b1b2<( 𝒂𝟏+𝒂𝟐 𝟐 ) 𝟐 + ( 𝒃𝟏+𝒃𝟐 𝟐 ) 𝟐 = 𝟏 𝟐 . 又 a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)b1+(a2-a1)b2=(a2-a1)(b2-b1)>0,所以 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 注意到 1=(a1+a2)(b1+b2)=a1b1+a2b2+a1b2+a2b1<2(a1b1+a2b2),所以 a1b1+a2b2> 𝟏 𝟐 . 综上可知,a1b1+a2b2 最大. 答案:A 6.设 x,y 均为正数,且 𝟏 𝒙+𝟏 + 𝟏 𝟐𝒚+𝟏 = 𝟏 𝟐 ,则 xy 的最小值为 . 解析:由 𝟏 𝒙+𝟏 + 𝟏 𝟐𝒚+𝟏 = 𝟏 𝟐 ,得 2xy=x+2y+3≥2√𝟐𝒙𝒚+3,当且仅当 x=2y,即 x=3,y= 𝟑 𝟐 时, 等号成立,则√𝒙𝒚 ≥ 𝟑√𝟐 𝟐 ,则 xy≥ 𝟗 𝟐 ,所以 xy 的最小值为𝟗 𝟐 . 答案: 𝟗 𝟐 7.若关于 x 的不等式 x 2 -(a+1)x+a<0 的解集中恰有 3 个整数,则实数 a 的取值范 围是 . 解析:关于 x 的不等式 x 2 -(a+1)x+a<0 可转化为(x-1)(x-a)<0. 当 a=1 时,不合题意; 当 a>1 时,1<x<a,此时解集中的整数为 2,3,4, 则 4<a≤5; 当 a<1 时,a<x<1,此时解集中的整数为-2,-1,0, 则-3≤a<-2. 故 a 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5]. 答案:[-3,-2)∪(4,5] 8.已知 a,b∈(0,1),关于 x 的不等式 ax2+x+b≥0 对于一切实数 x 恒成立,又存在 x0 ∈R,使 b𝒙𝟎 𝟐+x0+a=0 成立,则 𝟏 𝟏-𝒂 + 𝟐 𝟏-𝒃的最小值为 . 解析:因为不等式 ax2+x+b≥0 对于一切实数 x 恒成立,所以对应方程的根的判别 式 Δ1=1-4ab≤0,即 4ab≥1.又存在 x0∈R,使 b𝒙𝟎 𝟐+x0+a=0 成立,所以 Δ2=1-4ab≥0, 即 4ab≤1,所以 4ab=1,即 b= 𝟏 𝟒𝒂 .所以 𝟏 𝟏-𝒂 + 𝟐 𝟏-𝒃 = 𝟏 𝟏-𝒂 + 𝟐 𝟏- 𝟏 𝟒𝒂 = 𝟒 𝟒-𝟒𝒂 + 𝟐 𝟒𝒂-𝟏 +2= 𝟒 𝟒-𝟒𝒂 ·(4- 4a+4a-1)× 𝟏 𝟑 + 𝟐 𝟒𝑎-1 ·(4-4a+4a-1)× 1 3 +2=2+ 1 3 4(4𝑎-1) 4-4𝑎 + 2(4-4𝑎) 4𝑎-1 +2≥4+ 1 3 ×2√8=4+ 4√2 3 当且仅当4(4𝑎-1) 4-4𝑎 = 2(4-4𝑎) 4𝑎-1 时,等号成立 .所以 1 1-𝑎 + 2 1-𝑏的最小值为 4+ 4√2 3 . 答案:4+ 4√2 3 9.解不等式:-2<x2 -3x≤10
解：原不等式等价于不等式组 x2-3x>2①，不等式①可化为2-3x+2>0,解得 x2-3x≤10②， x>2或x<1 不等式②可化为x2.3x-10≤0，解得-2≤x≤5 故原不等式的解集为[-2,1)U(2,5] 10.己知x+y=-l,且xy∈(o,0),求xy+二的最小值. YV 解xy∈(-0,0)，∴-x>0,y>0. 由x+y=-1,得1=(x)+(y)≥2√x)(y)=2√x,则0<xy≤是当且仅当x=y=号时，等 号成立 令0=1e(0,引，则+号=1+月 :当1(0，时，0=+为减函数， 当即可)时号存在最小值最小值动+号 挑战创新 解关于x的不等式组 a(x-2)+1>0, 其中a>1. (x-1)2>a(x-2)+1, 解原不等式组转化为x>2日 (x-a)x-2)>0 当1<a<2时，则有 >2 x>2或x<a 而a-(2)-a+2>0, 所以>2二如图①，所以原不等式组的解集为 {xx>2或2<x<a} 2- 图① 图② 图③ 当a2时，则有>2行如图@所以原不等式组的解象为k>号且x≠2列 (x-2)2>0, 当a>2时，则有 x>2 a' 而21<2，如图③，所以原不等式组的解集为 x<2或x>a, {x>或2-日<x<2 综上，当1<a<2时，原不等式组的解集是{xk>2或2-<x<a 当a=-2时，原不等式组的解集是{xx>2,且x≠2}
解:原不等式等价于不等式组{ 𝑥 2 -3𝑥 > -2 ①, 𝑥 2 -3𝑥 ≤ 10 ②, 不等式①可化为 x 2 -3x+2>0,解得 x>2 或 x<1. 不等式②可化为 x 2 -3x-10≤0,解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5]. 10.已知 x+y=-1,且 x,y∈(-∞,0),求 xy+ 1 𝑥𝑦 的最小值. 解:∵x,y∈(-∞,0),∴-x>0,-y>0. 由 x+y=-1,得 1=(-x)+(-y)≥2√(-𝑥)·(-𝑦)=2√𝑥𝑦,则 0<xy≤ 1 4 ,当且仅当 x=y=- 1 2时,等 号成立. 令 xy=t,t∈(0, 1 4 ],则 xy+ 1 𝑥𝑦 =t+1 𝑡 . ∵当 t∈(0, 1 4 ]时,f(t)=t+1 𝑡 为减函数, ∴当 t=1 4 ,即 x=y=- 1 2时,xy+ 1 𝑥𝑦 存在最小值,最小值为1 4 + 1 1 4 = 17 4 . 挑战创新 解关于 x 的不等式组:{ 𝑎(𝑥-2) + 1 > 0, (𝑥-1) 2 > 𝑎(𝑥-2) + 1, 其中 a>1. 解:原不等式组转化为{ 𝑥 > 2- 1 𝑎 , (𝑥-𝑎)(𝑥-2) > 0. 当 1<a<2 时,则有{ 𝑥 > 2- 1 𝑎 , 𝑥 > 2 或𝑥 < 𝑎, 而 a-(2- 1 𝑎 )=a+1 𝑎 -2>0, 所以 a>2- 1 𝑎 ,如图①,所以原不等式组的解集为 {𝑥 |𝑥 > 2 或 2- 1 𝑎 < 𝑥 < 𝑎}. 图① 图② 图③ 当 a=2 时,则有{ 𝑥 > 2- 1 2 , (𝑥-2) 2 > 0, 如图②,所以原不等式组的解集为{𝑥 |𝑥 > 3 2 ,且𝑥 ≠ 2}. 当 a>2 时,则有{ 𝑥 > 2- 1 𝑎 , 𝑥 < 2 或𝑥 > 𝑎, 而 2- 1 𝑎 <2,如图③,所以原不等式组的解集为 {𝑥 |𝑥 > 𝑎或 2- 1 𝑎 < 𝑥 < 2}. 综上,当 1<a<2 时,原不等式组的解集是{𝑥 |𝑥 > 2 或 2- 1 𝑎 < 𝑥 < 𝑎}; 当 a=2 时,原不等式组的解集是{𝑥 |𝑥 > 3 2 ,且𝑥 ≠ 2};