3.函数 课后·训练提升 基础巩固 1.在函数y=xky=x2+y=√x2-2y=x中，偶函数的个数是( A.3 B.2 C.1 D.0 解析y=xx和y=x二是奇函数y=Vx2-Z是偶函数y=x2+既不是奇函数也不是偶函 数，所以偶函数的个数是1，故选C. 答案C 2.已知函数x)=ax2+bx+c,若1)>0,2)<0，则x)在区间(1,2)内的零点() A.至多有一个B.有一个或两个 C.有且仅有一个D.一个也没有 解析：若a=0,则x)=bxr+c是一次函数，由12)<0得零，点只有一个；若a0,则 x)=ax2+brx+c为二次函数，如有两个零，点，则必有12)>0，与已知矛盾.故选C 答案C 3.已知函数x)= 1则（高的值为 x2-x-3,x>1, A若 B器 c号 D.18 解析：3>1，∴3)=32-3-3=3. 1())-)=号 答案：C 4.已知函数x)= (2x+6,x∈1,2则的最大值、最小值分别为 x+7,x∈[-1,1)2 A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对 解析：当x∈[1,2]时x)max=2)=10, fx)min=f1)=8. 当x∈[-1,1]时，x)max=1)=8, x)min=-1)=6. 故当x∈[-1,2]时x)max=10,x)min=6 答案：A 5.下列四个函数中，在区间0，+o)内为增函数的是() A./(x)=3-x B./x)=x2-3x C)-在 D.fx)=-xl
3.函数 课后· 基础巩固 1.在函数 y=x|x|,y=x2+ 1 𝑥 ,y=√𝑥 2 -2,y=x- 1 𝑥 中,偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:y=x|x|和 y=x- 1 𝑥 是奇函数,y=√𝑥 2 -2是偶函数,y=x2+ 1 𝑥 既不是奇函数也不是偶函 数,所以偶函数的个数是 1,故选 C. 答案:C 2.已知函数 f(x)=ax2+bx+c,若 f(1)>0,f(2)<0,则 f(x)在区间(1,2)内的零点( ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 解析:若 a=0,则 f(x)=bx+c 是一次函数,由 f(1)f(2)<0 得零点只有一个;若 a≠0,则 f(x)=ax2+bx+c 为二次函数,如有两个零点,则必有 f(1)f(2)>0,与已知矛盾.故选 C. 答案:C 3.已知函数 f(x)={ 1-𝑥 2 ,𝑥 ≤ 1, 𝑥 2 -𝑥-3,𝑥 > 1, 则 f( 1 𝑓(3) )的值为( ) A. 15 16 B.- 27 16 C. 8 9 D.18 解析:∵3>1,∴f(3)=3 2 -3-3=3. ∵ 1 3 <1,∴f( 1 𝑓(3) )=f( 1 3 )=1-( 1 3 ) 2 = 8 9 . 答案:C 4.已知函数 f(x)={ 2𝑥 + 6,𝑥∈[1,2], 𝑥 + 7,𝑥∈[-1,1), 则 f(x)的最大值、最小值分别为( ) A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对 解析:当 x∈[1,2]时,f(x)max=f(2)=10, f(x)min=f(1)=8. 当 x∈[-1,1]时,f(x)max=f(1)=8, f(x)min=f(-1)=6. 故当 x∈[-1,2]时,f(x)max=10,f(x)min=6. 答案:A 5.下列四个函数中,在区间(0,+∞)内为增函数的是( ) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2 -3x C.f(x)=- 1 𝑥+1 D.f(x)=-|x|
解析：当x>0时x)=3x为减函数； 当x∈(0，)时w)=-3x为减函数， 当x∈（侵，+0）时x)=x2-3x为增函数： 当x∈0，+o时x)-本为增函数 当x∈(0，+oo)时，x)=-x为减函数 答案：C 6.若函数x)=(x-a)x+3)为偶函数，则2)= 解析（方法一）因为x)=-x), 所以x2+(3-ax-3a=x2-(3-a)x-3a 可得a=3,所以x)=x2-9,2)=22-9=-5. (方法二)由x)=x2+(3-ax-3a为偶函数，知其奇次项的系数为0，所以3-a=0,即 a=3 所以2)=22-9=-5 答案：-5 7.设函数x)= 经x>1, 则2)=」 _,函数x)的值域是 -x-2,x≤1 解析：“2)克 2》)2=号 当x>1时x)∈(0,1当x≤1时x)∈[3，+oo),x)∈[-3，+oo) 答案3，+0) 8.设偶函数x)的定义域为R,当x∈[0，+o)时x)是增函数，则-2)，术π)，-3)的大 小关系是 解析：因为x)是偶函数，所以几-3)=3)-2)=2)】 又因为函数x)在区间[0，+o)内是增函数 所以π)>3)>2)： 即π)P-3)P-2), 答案：π)>-3)>-2) 9.某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为1万元辆，出厂价为1.2万 元辆，年销量为1000辆.为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本， 若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同 时预计年销售量增加的比例为0.6x,利润=（出厂价-投入成本）×年销售量， ()写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的函数解析式： (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范 围？ 解(1)由题意，得 y=[1.2×(1+0.75x)1×(1+x)]×1000×(1+0.6x)0<x<1)
解析:当 x>0 时,f(x)=3-x 为减函数; 当 x∈(0, 3 2 )时,f(x)=x2 -3x 为减函数, 当 x∈( 3 2 , + ∞)时,f(x)=x2 -3x 为增函数; 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=- 1 𝑥+1 为增函数; 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数. 答案:C 6.若函数 f(x)=(x-a)(x+3)为偶函数,则 f(2)= . 解析:(方法一)因为 f(x)=f(-x), 所以 x 2+(3-a)x-3a=x2 -(3-a)x-3a, 可得 a=3,所以 f(x)=x2 -9,f(2)=2 2 -9=-5. (方法二)由 f(x)=x2+(3-a)x-3a 为偶函数,知其奇次项的系数为 0,所以 3-a=0,即 a=3, 所以 f(2)=2 2 -9=-5. 答案:-5 7.设函数 f(x)={ 1 𝑥 ,𝑥 > 1, -𝑥-2,𝑥 ≤ 1, 则 f(f(2))= ,函数 f(x)的值域是 . 解析:∵f(2)= 1 2 , ∴f(f(2))=f( 1 2 )=- 1 2 -2=- 5 2 . ∵当 x>1 时,f(x)∈(0,1);当 x≤1 时,f(x)∈[-3,+∞),∴f(x)∈[-3,+∞). 答案:- 5 2 [-3,+∞) 8.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π),f(-3)的大 小关系是 . 解析:因为 f(x)是偶函数,所以 f(-3)=f(3),f(-2)=f(2). 又因为函数 f(x)在区间[0,+∞)内是增函数, 所以 f(π)>f(3)>f(2), 即 f(π)>f(-3)>f(-2). 答案:f(π)>f(-3)>f(-2) 9.某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万 元/辆,年销量为 1 000 辆.为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本, 若每辆车投入成本增加的比例为 x (0<x<1),则出厂价相应的提高比例为 0.75x,同 时预计年销售量增加的比例为 0.6x,利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的函数解析式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范 围? 解:(1)由题意,得 y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1)
整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1), (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 则12-1)×1000>0， (0<x<1, 60220r>0保得0 故为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足0<< 10.己知函数x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且1)=1g(1)=2. (1)求函数x)和g(x)的解析式： (2)判断函数x)+g(x)的奇偶性， (3)求函数x)+gx)在区间(0，√②上的最小值 解()i设=xgr)-是其中a0 1)=1g(1)=2,∴k1×1=1,2=2 1=1=2x)=xg)-图 2)设)=x)+g,则h)=x+是 ∴.函数hx)的定义域是(-o,0)U(0,+o), :(-)=-x+2=(x+到=h ∴函数hx)是奇函数，即函数x)+gx)是奇函数. (6)(2)知M)=x+号 设x1,?是区间(0，V②上的任意两个不相等的实数，且x1<?, 则))(x1+)-(x2+) =1） =x1x2x1x22 x12 .x1,x2∈(0，V②，且x1<x2, ∴.x1-x2<0,0<x12<2 .x1x2-2<0,.(x1-x2x1x2-2)>0. .h(x1)>hx2) 函数x)在区间(0，√②上是减函数，函数hx)在区间(0，√②上的最小值是 h(W②)=2VZ,即函数x)+gx)在区间(0，V②上的最小值是2WZ 拓展提高 L.己知x),gx)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且xgx)=x3+x2+1,则 1)+g1)等于()
整理得 y=-60x 2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 则{ 𝒚-(𝟏.𝟐-𝟏) × 𝟏 𝟎𝟎𝟎 > 𝟎, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏, 即{ -𝟔𝟎𝒙 𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 > 𝟎, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏, 解得 0<x<𝟏 𝟑 . 故为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例应满足 0<x<𝟏 𝟑 . 10.已知函数 f(x)是正比例函数,函数 g(x)是反比例函数,且 f(1)=1,g(1)=2. (1)求函数 f(x)和 g(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性; (3)求函数 f(x)+g(x)在区间(0,√𝟐]上的最小值. 解:(1)设 f(x)=k1x,g(x)= 𝒌𝟐 𝒙 ,其中 k1k2≠0. ∵f(1)=1,g(1)=2,∴k1×1=1,𝒌𝟐 𝟏 =2, ∴k1=1,k2=2.∴f(x)=x,g(x)= 𝟐 𝒙 . (2)设 h(x)=f(x)+g(x),则 h(x)=x+𝟐 𝒙 , ∴函数 h(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). ∵h(-x)=-x+𝟐 -𝒙 =-(𝒙 + 𝟐 𝒙 )=-h(x), ∴函数 h(x)是奇函数,即函数 f(x)+g(x)是奇函数. (3)由(2)知 h(x)=x+𝟐 𝒙 . 设 x1,x2 是区间(0,√𝟐]上的任意两个不相等的实数,且 x1<x2, 则 h(x1)-h(x2)=(𝒙𝟏 + 𝟐 𝒙𝟏 ) − (𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙𝟐 ) =(x1-x2)+( 𝟐 𝒙𝟏 - 𝟐 𝒙𝟐 ) =(x1-x2)(𝟏- 𝟐 𝒙𝟏 𝒙𝟐 ) = (𝒙𝟏 -𝒙𝟐 )(𝒙𝟏𝒙𝟐 -𝟐) 𝒙𝟏 𝒙𝟐 , ∵x1,x2∈(0,√𝟐],且 x1<x2, ∴x1-x2<0,0<x1x2<2. ∴x1x2-2<0,∴(x1-x2)(x1x2-2)>0. ∴h(x1)>h(x2). ∴函数 h(x)在区间(0,√𝟐]上是减函数,函数 h(x)在区间(0,√𝟐]上的最小值是 h(√𝟐)=2√𝟐,即函数 f(x)+g(x)在区间(0,√𝟐]上的最小值是 2√𝟐. 拓展提高 1.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)等于( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析1)+g1)=-1)g-1)=(-1)3+(1)2+1=1. 答案：C 2,若x)是偶函数，其定义域为(-，+0)，且在区间0，+∞)内是减函数，则()与 人a2+2a+)的大小关系是( A(》(a2+2a+) B()a2+2a+引 c()≥a2+2a+》 D()(a2+2a+) 解析：国为a2+2a+=(a+1P+2≥ 又x)在区间[0，+o)内是减函数。 所以(a2+2a+)≤)=(》 答案：C 3.某工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本（单位：万元） 与年产量单位：吨)之间的关系可近似地表示为)号30x+400,则每吨的成本 最低时的年产量为() A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨 解析：依题意得每吨的成本为=言+”30， 则≥2 .4000-30=10， 10 当且仅当务=吧即x=200时，等号成立， 10 因此，当每吨的成本最低时，年产量为200吨 答案B 4.已知函数x)=x3+x+1(x∈R),若a)=2,则-a)的值为 解析：设Fx)=fx)1=x3+x,显然Fx)为奇函数.又F(a=a)1=1,所以F(-a)=-a) 1=-1,从而-a)=0. 答案0 5.已知函数x)=Vx2-2x-3,则该函数的单调递增区间为 解析：设1=x2-2x-3,由t≥0，即x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3，所以函数x)的定义 域为(0，-1]U[3,+o因为函数1=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数1在区 间(-0，-1]上单调递减，在区间[3，+o)上单调递增，所以函数x)的单调递增区间为 [3,+0
A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. 答案:C 2.若 f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在区间[0,+∞)内是减函数,则 f(- 𝟑 𝟐 )与 f(𝑎 2 + 2𝑎 + 5 2 )的大小关系是( ) A.f(- 3 2 )>f(𝑎 2 + 2𝑎 + 5 2 ) B.f(- 3 2 )<f(𝑎 2 + 2𝑎 + 5 2 ) C.f(- 3 2 )≥f(𝑎 2 + 2𝑎 + 5 2 ) D.f(- 3 2 )≤f(𝑎 2 + 2𝑎 + 5 2 ) 解析:因为 a 2+2a+5 2 =(a+1)2+ 3 2 ≥ 3 2 , 又 f(x)在区间[0,+∞)内是减函数, 所以 f(𝑎 2 + 2𝑎 + 5 2 )≤f( 3 2 )=f(- 3 2 ). 答案:C 3.某工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间,年生产的总成本 y(单位:万元) 与年产量 x(单位:吨)之间的关系可近似地表示为 y= 𝑥 2 10 -30x+4 000,则每吨的成本 最低时的年产量为( ) A.240 吨 B.200 吨 C.180 吨 D.160 吨 解析:依题意,得每吨的成本为𝑦 𝑥 = 𝑥 10 + 4000 𝑥 -30, 则 𝑦 𝑥≥2 √ 𝑥 10 · 4 000 𝑥 -30=10, 当且仅当 𝑥 10 = 4 000 𝑥 ,即 x=200 时,等号成立, 因此,当每吨的成本最低时,年产量为 200 吨. 答案:B 4.已知函数 f(x)=x3+x+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 . 解析:设 F(x)=f(x)-1=x3+x,显然 F(x)为奇函数.又 F(a)=f(a)-1=1,所以 F(-a)=f(-a)- 1=-1,从而 f(-a)=0. 答案:0 5.已知函数 f(x)=√𝑥 2 -2𝑥-3,则该函数的单调递增区间为 . 解析:设 t=x2 -2x-3,由 t≥0,即 x 2 -2x-3≥0,解得 x≤-1 或 x≥3,所以函数 f(x)的定义 域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数 t=x2 -2x-3 的图象的对称轴为 x=1,所以函数 t 在区 间(-∞,-1]上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)的单调递增区间为 [3,+∞)
答案[3，+o) 6.已知定义在R上的奇函数x)在区间[0，+o)内单调递减，若x2-2x+a)x+1)对 任意的x∈[-1,2]恒成立，则实数a的取值范围为 解析：依题意，得x)在R上是减函数， 所以x2-2x+a)x+1)对任意的x∈[-1,2]恒成立，等价于x2-2x+a>x+1对任意的x ∈[-1,2]恒成立，等价于a>-x2+3x+1对任意的x∈[1,2]恒成立.设gx)=-x2+3x+1( 1≤r≤2，则g-(x}+只1≤x≤2当x时g)得最大值，且 gm=g(月)=是，国此a>号 答案(（保，+∞) 7.已知ara (1)若a=-2,试证x)在区间(-0，-2)内单调递增： (2)若a>0,且x)在区间(1，+o)内单调递减，求实数a的取值范围！ )证明：当a=2时)2 任取x1,X2∈(-00，-2)，且x1<x2 则如)一= 2(￥12) 因为(x1+2)x2+2)>0,x1-x2<0, 所以x1)x2)K0,即x1)Kx2)片 所以x)在区间(-0，-2)内单调递增 (2)解：任取x1,2∈(1，+oo),且x1<2, 则r1)x2)=-立=a x1-a x2-a (x1-ax2-a) 因为a>0,x2-x1>0, 又由题意知xIx2)>0, 所以(r-a)(x2-a)>0恒成立，所以a≤1. 所以0<a≤1. 所以a的取值范围为(0,1] 挑战创新 已知函数y=x)在定义域[1,1]上既是奇函数，又是减函数 (1)求证：对任意x1,x2∈[-1,1]，有[优x1)+x2小(x1+x2)≤0： (2)若1-a)+1-a2)<0,求实数a的取值范围 (1)证明：若x1+2=0,显然原不等式成立 若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1，因为x)在区间[-1,1]上是减函数，且为奇函数， 所以x1)>-x2)=x2), 所以x1)+x2)>0. 所以[优x1)+x2)](x1+x2)<0成立
答案:[3,+∞) 6.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)在区间[0,+∞)内单调递减,若 f(x 2 -2x+a)<f(x+1)对 任意的 x∈[-1,2]恒成立,则实数 a 的取值范围为 . 解析:依题意,得 f(x)在 R 上是减函数, 所以 f(x 2 -2x+a)<f(x+1)对任意的 x∈[-1,2]恒成立,等价于 x 2 -2x+a>x+1 对任意的 x ∈[-1,2]恒成立,等价于 a>-x 2+3x+1 对任意的 x∈[-1,2]恒成立.设 g(x)=-x 2+3x+1(- 1≤x≤2),则 g(x)=- (𝑥- 3 2 ) 2 + 13 4 (-1≤x≤2),当 x= 3 2时,g(x)取得最大值,且 g(x)max=g( 3 2 ) = 13 4 ,因此 a>13 4 . 答案:( 13 4 , + ∞) 7.已知 f(x)= 𝑥 𝑥-𝑎 (x≠a). (1)若 a=-2,试证 f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0,且 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求实数 a 的取值范围. (1)证明:当 a=-2 时,f(x)= 𝑥 𝑥+2 . 任取 x1,x2∈(-∞,-2),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= 𝑥1 𝑥1 +2 − 𝑥2 𝑥2+2 = 2(𝑥1 -𝑥2 ) (𝑥1 +2)(𝑥2 +2) . 因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增. (2)解:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= 𝑥1 𝑥1 -𝑎 − 𝑥2 𝑥2 -𝑎 = 𝑎(𝑥2 -𝑥1 ) (𝑥1 -𝑎)(𝑥2 -𝑎) . 因为 a>0,x2-x1>0, 又由题意知 f(x1)-f(x2)>0, 所以(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,所以 a≤1. 所以 0<a≤1. 所以 a 的取值范围为(0,1]. 挑战创新 已知函数 y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数. (1)求证:对任意 x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0; (2)若 f(1-a)+f(1-a 2 )<0,求实数 a 的取值范围. (1)证明:若 x1+x2=0,显然原不等式成立. 若 x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,因为 f(x)在区间[-1,1]上是减函数,且为奇函数, 所以 f(x1)>f(-x2)=-f(x2), 所以 f(x1)+f(x2)>0. 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0 成立