体积权重与个数权重晶粒体积分布特征的相互关系

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1997.03.010 第19卷第3期 北京科技大学学报 Vol.19 No.3 1997年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing June 1997 体积权重与个数权重晶粒体积分布 特征的相互关系 于海波刘国权 北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要金属多晶体三维晶粒尺寸分布常近似呈Gamma分布或Lognormal分布.基于这2种分布函 数，导出了体积权重与个数权重的晶粒体积分布特征参量的相互关系，并利用一种低碳钢奥氏体 晶粒组织的实验数据及文献数据对其进行了验证.利用该关系，通过对多晶材料晶粒组织二维截 面的标准金相测量，即可计算个数权重的三维晶粒体积分布的特征参量， 关键词晶粒尺寸分布，Gamma分布函数，Lognormal分布函数，单相多晶体 中图分类号TG1I3,TG115 晶粒尺寸分布，在工程上对多晶材料（包括金属、合金及陶瓷等）的性能具有重要影响；理 论上对材料组织特征、演变规律的研究以及相关理论模型的建立和应用具有重要价值！. 利用系列截面法)或晶粒剥离法可以测量三维晶粒体积分布，但这些传统方法难于操 作而且耗费大量时间，因而长期以来未能得到广泛应用.因此必须寻找其他方法利用二维截 面的金相测量来计算三维晶粒尺寸分布，这是本文研究的目的. 1理论推导 三维晶粒尺寸可以利用品粒体积来描述，相应分布可用晶粒体积分布函数表达，通常，根 据权重不同，晶粒体积分布有2种表达形式：一种是常用的个数权重的晶粒体积分布；一种是 体积权重的晶粒体积分布.如果利用∫(~)表述个数权重的晶粒体积分布的概率密度，其中 下标“N”代表个数权重，则f,()dv代表体积位于v与v+dv之间的晶粒个数占总晶粒数的百 分数，因此，在这种分布当中，每个晶粒具有相同的权重.如果利用∫()代表体积权重的晶粒 体积分布的概率密度，其中下标“代表体积权重，则f()dv代表体积位于v与y+dv之间 的晶粒总体积占总晶粒体积的百分数， 通常利用如下参量来描述晶粒体积分布函数：个数权重的平均体积、标准差SD()及 其变异系数CV()=SD()/体积权重的平均晶粒体积~标准差SD()及其变异系数 CV (v)=SD (v)/v 当假设晶粒体积服从Gamma分布或Lognormal分布时，则可导出v,CV()与v,CV (v)之间的定量关系. 1996-11-20收稿第一作者男25岁博士 *国家自然科学基金及国家教委博士点专项基金资助项目

第 19 卷 第 3期 19 9 7年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r n a l o f U n i v e r s i ty o f cS i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e ij i n g V o l . 19 N o . 3 J l n e 1 99 7 体积权重 与个数权重 晶粒体积分布 特征 的相 互关 系 ’ 于 海波 刘 国权 北京科技大学材料科学与 工程学 院 , 北京 10 0 0 83 摘要 金属多晶体三维晶粒尺 寸分布常近 似呈 〔祖m m a 分布或 oL gn o rm al 分布 . 基于这 2 种分布 函 数 , 导出 了体积权 重与个数权重 的晶粒体 积分布特征参量 的相互 关系 , 并利用一种低碳钢奥 氏体 晶粒组织 的实验数据及 文献数据对其进行 了验证 . 利用该关系 , 通过对多晶材料晶粒组织二维截 面的标准金相 测量 , 即可 计算个数权重的三维晶粒体积分布 的特征参量 . 关键词 晶粒尺寸分布 , G an l l l l a 分布函 数 , oL g n o mr al 分布函 数 , 单相多晶体 中图分类 号 T G I 1 3 , T G I 15 晶粒 尺 寸分 布 , 在 工程 上对 多 晶材料 (包 括金 属 、 合金及 陶瓷等 ) 的性 能具 有重 要影 响 ; 理 论 上对 材料 组 织特 征 、 演 变规律 的研 究 以 及相 关理 论模 型 的建立 和应 用具有 重要价 值〔’ , 2 ] . 利用 系 列截 面 法 3I[ 或 晶粒 剥 离法 [’] 可 以 测 量三 维 晶粒 体积 分布 , 但 这些 传 统方 法难 于 操 作 而且 耗 费大量 时间 , 因而 长期 以 来 未能 得 到广 泛应 用 . 因 此必 须 寻找 其他 方法 利 用二 维截 面的金 相测 量来 计算 三 维 晶粒尺 寸分 布 , 这是 本 文研 究 的 目的 . 1 理 论推导 三 维 晶粒 尺寸 可 以 利 用晶粒 体积 来描 述 , 相 应分 布 可用 晶粒体积分 布 函数表 达 . 通 常 , 根 据 权重 不 同 , 晶粒体积 分布 有 2 种表 达形 式 : 一 种是 常用 的个 数权重 的晶粒体 积分布 ; 一种 是 体 积权重 的晶 粒 体积 分 布 . 如果 利 用 f 仄, ) 表述 个数 权 重 的晶 粒体积分 布 的概 率密 度 , 其 中 下 标 “ N ” 代 表个 数权 重 , 则 寿v( ) vd 代 表体积 位于 、 与 V + vd 之 间的晶粒 个数 占总 晶粒数 的百 分 数 , 因此 , 在 这 种分 布 当 中 , 每 个 晶粒具 有相 同 的权重 . 如果 利 用 f 试v) 代表 体积权 重 的晶粒 体积 分布 的概 率密度 , 其 中下标 “ r 代 表体积权 重 , 则 f 仄v) dy 代表 体积位 于 V 与 V + vd 之 间 的晶 粒总 体积 占总 晶粒体积的 百分数 . 通 常利 用 如下参量来 描 述 晶粒体 积分 布 函 数 : 个数权重 的平 均体 积可 、 标 准差 S D 仄v) 及 其变 异系 数VC 仄v) 二 S D 仄v) / 砚; 体积权重 的平均 晶粒 体积亏标准差 S D 谈v) 及其变异 系数 C V 沫 v ) = S D 沫 v ) / v 。 · 当假 设 晶粒 体积 服 从 ( 饭n l m a 分 布 或 oL g on mr al 分布 时 , 则 可 导 出砚 , C V 试v) 与可 , VC 厂 ( v ) 之 间的定 量 关系 . 19 9 6 一 1 1 一 2 0收稿 第 一作者 男 25 岁 博士 * 国 家 自然科学基金及国家教委博士 点专项基金资助项 目 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1997. 03. 010

Vol.19 No.3 于海波等：体积权重与个数权重晶粒体积分布特征的相互关系 ·269· 1.1 Gamma分布函数 Gamma分布函数可表示为1： ya-I )=BT(a)exp(-v/b) (1) 其中，a(>0),b为2个参数，T(a)为伽玛函数，体积v>0. 根据f()的定义，体积权重的晶粒体积的n次矩为o: g=%+'/w (2 其中，心为个数权重的晶粒体积分布的n次矩阵， 另外，根据Gamma分布函数的特性，个数权重的晶粒体积的n次矩阵为1： vW/(v)"=a(a+1)…(a+n-I)/a" (3) 根据个数权重的晶粒体积分布的变异系数CV从)的定义及式(3)(n=2),有： CVv)=-)=11a (4) 同样，又根据体积权重的晶粒体积分布的变异系数CV()的定义，并联立式(2)及式 (4),有： CV,()=V-}21,=V11a+1) (5) 联立式(4)，(5)有： CVw四=CV()1√1-CV)=V-(/V2(2- (6) VN 2vv-vi/Vv (7) 式(6)，(7)即为个数权重的晶粒体积分布参量vwCV()和体积权重的晶粒体积分布参量vn 和CV,(y)之间的定量关系. 1.2 Lognormal分布函数 Lognormal分布函数常表示为(： (8) 其中A(>0),B分别为In(v)的标准差与算术平均值. 对于该函数，有如下关系式存在： %1()=expl(m2-m)/2] (9) 利用式(2)，式(9)，采用与Gamma分布函数完全相同的思路，可以得到： CV(v)=CV(v)=)2/ (10) vw=(V)212 (11) 2 实验验证 众多实验及理论研究s.?~12认为：晶粒尺寸分布近似呈Gamma分布s,l.l2或Lognormal 分布s.7~1o1.这也是我们利用Gamma分布或Lognormal分布函数假设推导体积权重与个数权 重的晶粒体积分布特征参量相互关系的重要原因

V o l . 19 N 0 . 3 于海波等 : 体 积权重 与个数权 重晶粒体积分布特征 的相互关 系 . 2 6 9 . l · 1 G a m m a 分布 函数 C 饱m l n a 分 布 函数可表示 为[5] : 尽v) = v a 一 ` b a 厂( a ) e x P( 一 / b ) ( l ) 其中 , a( > 0) , b 为 2 个参数 , (r a) 为伽 玛 函数 , 体积 , > 0 . 根据 f 试v) 的 定义 , 体积 权重 的 晶粒体积 的 。 次矩不争为【6] : 碎 = 砍 + ’ / 不 、 ( 2 ) 其 中 , 弓为个数权重 的晶粒 体积 分布 的 。 次矩 阵 · 另外 , 根据 ( 泊m m a 分布 函数 的特性 , 个数权重 的晶粒 体积 的 n 次矩 阵为 5[] : 砍z (不户 n = a ( a + l ) … ( a + n 一 l ) / a , (3 ) 根 据个 数权重 的晶粒 体 积分布 的变 异 系数 C v 仄v) 的定义 及式 (3) (n 二 2) , 有 : vc 户) 一 撅 一 杯扩 / 、 、 一 丫而石 (4) 同样 , 又 根 据 体积 权 重 的晶 粒 体 积 分 布 的 变 异 系 数 VC 试v) 的 定 义 , 并 联 立式 (2) 及 式 ( 4 ) , 有 : 、尹. ù 户、产 、 à`U, 、了.、 I 、 . C V 沫 v ) = 联 立 式 (4 ) , ( 5) 有 : VC 试v) = VC 仄 v ) / 祝 一 。。 2 / 、 , 一 丫 1 / ( · + ` ) 价 一 vc 汉 v ) 一 存 一 、 (酬 / 御酬 一 砰 几= 万 F 一 磷 / 几 式 (6 ) , (7 ) 即为个数权重 的晶粒体积 分布参量 v .N VC 仄v) 和体积权重 的晶粒体积分 布参量 v 。 砍和 VC 沫v) 之 间的 定量 关系 . 1 . 2 助g n o r m a l oL g n o mr a l 分布 函数 分 布 函 数常表示 为 5[ : 1 f 1 f i n ( v ) 一 B丫1 J 达v ) = 几, 7 万了 e x P I 一 万气一一百一一 ) l d V丫 乙 兀 L ~ 、 l ` , 」 (8 ) 、少. 产、产. n,0 . . 了、. 二. 、 , 二`. 且. 了`、. 其 中 A ( > 0) , B 分别 为 1n( v) 的标 准差 与算 术平 均值 . 对于 该 函数 , 有 如下 关系 式存在 : 砍/ 口户 ” 一 e x p [ ( n , 一 n ) A , / 2 ] 利用 式 (2) , 式 (9) , 采用 与 C饱m m a 分 布 函数完全相 同的 思路 , 可 以得 到 : vc 沫v) 一 vc 沫v) 一 祝 一 内 , /几 石 、 = 杯扩 / 碑 2 实验验证 众多 实 验及 理论 研 究 l5, ’ 一 ” ]认为 二晶 粒 尺寸 分布 近似 呈 C以m m a 分 布 5,[ ” , ” ]或 oL g no mr al 分 布 5[, ’ 一 ’ 。 ] . 这也 是我们利 用 C a l ll m a 分布 或 oL g n o mr al 分 布 函数假设 推 导体积 权重 与个数权 重 的 晶粒 体积分布特 征参量相互 关 系的重 要 原 因

·270· 北京科技大学学报 1997年第3期 为进一步证明上述理论关系式，本文中 0.09 利用系列截面法测量了一种典型奥氏体晶 。实验 0.08 粒的三维尺寸分布，如图」所示.实验材料为 Lognormal 0.071 -Gamma 一种低碳钢，经等温奥氏体化处理，得到基本 0.06 无方向性且充分长大的单相等轴晶粒组织， 0.05 其中取样晶粒个数为1292，试样号为3S.利 0.04 用该试样三维晶粒尺寸分布数据，则可计算 0.03 相应特征参量值，如下N,CV(),及 0.02 CV()等.进一步利用式(6)，(7)及式 0.01 (10),(11),根据实验测量的及或CV() 9 数据，即可计算Gamma或Lognormal分布下 0 20 40 60 80 100 晶粒直径/μm 相应的v及CV()值.实验及计算结果见表 图1三维晶粒尺寸（等体积球晶粒直径）分布函数 表1与CV)的测量与计算值 材料 三维实测值 gamma计算值 lognormal计算值 参考文献 X CVM) CVMV) VN CVv) 低碳钢3S 67800 1.14 60000 1.22 93800 0.775 1.18* 本文 58600* 88500* 0.763* 低碳钢3M 125300 1.09 110000* 1.21* 171000◆ 0.772* 本文 纯铝 326 1.33 320 1.35 549 0.803 [] B一黄铜 83 1.26 84 1.25 134 0.780 [8] 铝锡合金 2170 0.88 1950 0.99 2580 0.704 [17) 纯铁 132 0.87 157 0.69 175 0.568 [16] a一钛 7005 0.63 7870 0.50 8180 0.443 [9] Voronois组织 0.456 1.017 0.434 1.043 0.398 [1] ◆根据二维金相截面上测量的，及值计算 表1同时列出了同一材料不同奥氏体化时间所得晶粒组织（试样号为3M)的实验数据 以及从文献中根据三维实测晶粒尺寸分布函数曲线计算所获得的数据，从表1中可以看到， 当假设晶粒尺寸服从Gamma分布时，无论是v,还是CV从y)的计算值都与实验测量值相接 近；而当假设晶粒尺寸服从Lognormal分布时，则会导致较大的系统误差，如高估vw值，低估 CV《)值. 通过对表1中6种材料及1种模拟晶粒组织的晶粒尺寸分布数据的定量分析，可以认为 当假设三维晶粒尺寸分布为Gamma分布时，利用体积权重的晶粒体积分布参量来推算个数 权重的晶粒体积分布参量是一种可行和有效的方法. 3应用 建立体积权重与个数权重的晶粒体积分布特征参量之间相互关系的一个重要原因是：参 数v及CV)虽常用但不能在二维金相截面上定量测量；而V及CV,()虽不常用但却能通

. 0 2 7 3 . 北 京 科 技 大1 学 学 报 年 第 期 7 9 9 为 进 一步 证 利 用 系 列截 面法 L 理 论 关系 式 , 本 文 中 0 . 0 9 粒 的 三 维尺 寸分 布 , 如 图 一 种 典型 奥 氏体 晶 1 所示 . 实验材 料 为 0 . 08 0 . 0 7 分 实验 一 L O g n o nrT al 一 G an l n l a 一种 低碳 钢 , 经等 温 奥 氏体化处理 , 得到 基本 无方 向性 且 充 分 长 大 的单相 等轴 晶粒 组 织 , 其 中取 样 晶 粒个 数 为 1 2 92 , 试样 号为 35 . 利 用 该 试样 三 维 晶粒 尺 寸分 布数 据 , 则 可 计算 相 应 特 征 参 量 值 , 如不 、 , VC 、 ( v) , 不 , . , 不毛及 C V 。 ( v ) 等 . 进 一 步 利 用 式 ( 6 ) , ( 7 ) 及 式 ( 1 0 ) , ( 1 1) , 根据 实 验测 量 的下皿下:或 e v , ( v ) 数据 , 即可计 算 。 lm m a 或 oL g no mr al 分布 下 相 应 的 v冰 VC 沫 v ) 值 · 实 验 及计 算 结果 见 表 l . 0 . 0 6 0 . 0 5 0 . 0 4 0 . 0 3 0 . 0 2 0 . 0 1 0 尽 0 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0 晶粒直径/ “ m 图l 三维晶粒尺寸 (等体积球晶粒直径 )分布 函数 表 1 瓦与 c 以 、 ) 的测 t 与计 算值 材料 三 维实测值 g am m a 计算值 lgo n o mr al 计算值 V厅 6 7 8 0 0 C v 城 v 1 . 14 参考文献 低碳钢 3 M 纯铝 月一黄铜 铝锡合金 纯铁 a 一钦 V o or n o i组织 12 5 3 0 0 本文 本文 7[]81[ l761[] 9[] l[] 3 2 6 8 3 1 . 0 9 1 . 3 3 1 . 2 6 0 . 8 8 0 . 8 7 0 . 6 3 0 . 4 5 6 、 , N 6 0 0 0 0 5 8 6 0 0 * 1 1 0 0 0 0 * 3 2 0 8 4 2 17 0 1 3 2 7 0 0 5 l C v 城 v ) 0 . 7 7 5 0 . 7 6 3 * 0 . 7 7 2 * 0 . 8 0 3 0 . 7 8 0 0 . 7 0 4 0 . 5 6 8 0 . 4 4 3 0 . 39 8 580 75 043180 1 9 5 0 1 5 7 7 8 7 0 1 . 0 1 7 VC 试 v ) 1 . 2 2 1 . 1 8 * 1 . 2 1 * 1 . 3 5 1 . 2 5 0 . 9 9 0 . 69 0 . 5 0 0 . 4 3 4 V N 9 3 8 0 0 88 5 0 0 * 1 7 1 0 0 0 * 54 9 1 3 4 * 根据二 维金 相截面 上测 量的不汲砍值计算 . 表 1 同时 列 出 了 同一 材料 不 同奥 氏体化 时 间所 得 晶粒 组 织 ( 试样 号 为 3M ) 的实 验数据 以 及 从文献 中根 据三 维 实测 晶 粒尺 寸 分布 函 数 曲线 计算 所 获得 的数 据 . 从 表 1 中可 以看 到 , 当假 设 晶粒 尺 寸 服 从 G a n l m a 分 布 时 , 无论 是 v , 还是 VC 仄v) 的计 算值 都 与 实验 测量 值相 接 近 ; 而 当假 设晶 粒 尺 寸服 从 oL g on mr al 分 布 时 , 则 会 导致 较大 的 系 统误差 , 如 高估不滩 , 低估 vc 仄v) 值 . 通过 对 表 1 中 6 种材 料及 1 种 模拟 晶粒 组织 的 晶粒 尺寸分布 数据 的定量 分析 , 可 以认 为 当假 设三 维 晶粒 尺寸 分 布 为 C泊m m a 分 布时 , 利 用体积权 重 的晶粒 体积分布 参量来 推算个 数 权重 的 晶粒体积分 布 参量 是一 种可 行和 有效 的方 法 . 3 应用 建 立体积权 重 与个 数权 重 的晶粒 体积 分布 特征 参量 之 间相互 关系 的一个 重要 原 因是 : 参 数 、 冰 VC 仄v) 虽 常 用但 不能 在二 维 金 相截 面上 定 量测 量 ; 而 v 尿 VC 沫吟 虽不 常用 但却 能通

Vol.19 No.3 于海波等：体积权重与个数权重晶粒体积分布特征的相互关系 ·271· 过金相截面进行定量测量.如果知道'，CV()与，CV()之间的理论关系，则可通过二维 截面的金相测量，推算相应的v及CV(v)值. 利用点取截距法63,1可以测量体积权重的平均晶粒体积该方法对晶粒形状及晶粒 尺寸分布不作任何假设，仅要求使用各向同性的、均匀随机的截面，并满足其基本要求，即能 够在金相截面上辨认出哪些断面属于同一晶粒.对于基本无方向性的、充分长大的单相等 轴晶粒组织，这些要求基本满足，并且可利用自动图像分析系统，在任意截面上即可快速完 成v的测算. 同时，利用点取面积法31，可以在二维金相截面上测量体积权重的晶粒体积分布的二 次矩.这样联合点取截距法与点 表2不同方法测量的，和CV()值 取面积法，可测量体积权重的晶粒 参量 测试方法 低碳钢3S 低碳钢3M 体积分布的变异系数CV(v),见 系列截面法 150×103μm 式(5).采用低碳钢(3S及3M试 点取截距法 140×10μm 273×10μm 样)为研究对象的测量结果见表 系列截面法 36000×10°μm 2.表2同时列出了利用系列截面 点取面积法 31000×10μm 119000×10μm 法测量的3S试样的，及值.从表 系列截面法 0.775 CV-( 2中看出，采用不同方法测量的相 点取面积法 0.763 0.772 应值相差不大，这进一步证明了点 点取截距法 取截距法与点取面积法的有效性 利用二维截面上测量的v,及CV,(v)值，根据Gamma分布及Lognormal分布假设计算的 '及CV()值见表l,计算值与实验测量值相符合（对于Gamma分布函数假设），进一步证明 了本理论的正确性及实际应用的可行性， 4结论 (I)假设晶粒体积服从Gamma分布或Lognormal分布，分别导出了体积权重与个数权重 晶粒体积分布特征参量的相互定量关系，并利用实验数据及文献数据进行了验证.发现当假 设晶粒体积服从Gamma分布时，计算值与实验测量值相符；而当假设晶粒体积服从Lognor- ml分布时，会导致较大的系统误差.这说明实际材料的晶粒尺寸分布极可能更加接近于 Gamma分布.(2)实验证明了点取截矩法与点取面积法测量体积权重的品粒体积分布特征参 量，及CV(y)的可行性，并进一步应用于及CV()的计算.结果说明，根据本理论，通过二 维金相截面的定量测量，推算三维晶粒体积分布特征参量、及CV()是可行的，也是有效 的. 参考文献 1余水宁，刘国权.体视学：组织定量分析的原理与应用.北京：冶金工业出版社，1989 2 Liu G.Applied Stereology in Materials Science and Engineering.J Microsc,1993,171:57 3 Rhines F N.Craig K R,Rousse D A.Measurement of Average Grain Volume and Certain Topolog- ical Parameters by Serial Section Analysis.Metall Trans,1976.7A:1729

v ol . 19 No 3 于海波等 二体积权重 与 个数权重晶粒体积分布特 征的相 互 关系 . 2 71 . 过 金相截 面进行 定量 测 量 . 如 果知 道几 , C V 仄v) 与可 , C V 试v) 之 间的理论 关 系 , 则 可通过 二 维 截 面的金 相测 量 , 推算 相应 的不吞及 C V 仄v) 值 · 利 用 点取 截 距法【6 , ” , ’ ` ,可 以 测量 体积 权 重 的平 均 晶粒 体积 可 . 该方 法 对晶 粒形 状及 晶粒 尺 寸分 布 不作 任何 假 设 , 仅要求 使 用各 向 同性 的 、 均匀 随 机 的截 面 , 并 满足 其基 本 要求 , 即能 够 在 金 相 截 面 上 辨 认 出哪 些 断面 属 于 同一 晶粒 . 对于 基 本 无 方 向性 的 、 充分 长大 的 单相 等 轴 晶粒 组 织 , 这 些 要 求基 本 满 足 , 并 且可 利 用 自动 图像 分 析 系统 , 在 任 意截 面 上 即 可快 速完 成可的 测算 . 同时 , 利 用点取 面 积法 [” , ’ 5 ] , 可 以 在二 维 金相 截 面上 测量 体积 权 重 的晶粒 体积 分 布 的二 次矩 砰 · 这样 联 合 点取 截 距 法 与 点 取面 积法 , 可测 量体 积权 重 的晶粒 体积 分布 的变 异系 数 C V F ( v) , 见 式 ( 5) . 采 用 低 碳 钢 ( 3S 及 3 M 试 样 ) 为 研究 对象 的测 量 结 果 见 表 2 . 表 2 同时 列 出 了 利 用 系列 截 面 法 测量 的 3s 试样 的不及可值 · 从表 2 中看 出 , 采 用 不 同方 法测 量 的相 应值相 差不 大 , 这 进一步 证 明 了点 取 截距 法 与点取 面积 法的有 效性 . 表 2 不同方法测t 的砚砰 和c v (v) 值 参量 测试方法 低碳钢3 5 低碳钢 3M 系列截 面法 点取截距法 系列截 面法 点取 面 积法 系列截 面法 点取面 积法 点取截距法 1s o x 一0 3 卜m 3 一4 0 X 1 0 3 卜m 3 3 6 0 0 0 x 10 6 “ m 6 3 1 0 0 0 x 10 6 协m 6 2 7 3 x 1 0 3 卜m 砰 1 1 9 0 0 0 x 10 6 协m 6 0 . 7 7 5 0 . 7 6 3 0 . 7 7 2 利 用二 维截 面上 测量 的 可及 C V 试v) 值 , 根 据 C 饭m m a 分布及 oL gn o mr al 分 布假 设计算 的 亏及 C V 办) 值见表 1 , 计算值与实验 测量值 相符 合 (对于 6 a m m a 分 布 函 数假 设 ) , 进 一步 证 明 了本理 论 的正确性 及 实际应 用 的可行性 . 4 结论 (l ) 假设 晶粒 体积 服从 C谊m m a 分布 或 oL g n o mr al 分 布 , 分别导 出了 体积 权重 与个 数权重 晶粒 体 积分 布 特 征参量 的相 互 定量 关 系 , 并 利 用实 验数 据 及文 献数 据 进行 了验 证 . 发现 当假 设晶粒体积 服 从 aG m m a 分布 时 , 计算 值 与实 验测 量值相 符 ; 而 当假设 晶粒 体 积服 从 oL g no 卜 m al 分 布 时 , 会 导 致 较 大 的系 统 误 差 . 这 说 明实 际材 料 的 晶粒 尺 寸 分 布 极 可 能更 加 接 近于 ( 饱m m a 分 布 . ( 2) 实验 证 明 了点 取截 矩 法与 点取 面积 法测 量体 积权 重的 晶粒体积分 布 特征参 量 可及 C V 试v) 的可 行性 , 并进 一步 应用 于 亏及 VC 从v) 的计算 · 结 果说 明 , 根 据本理 论 , 通过二 维金 相 截 面 的 定量 测 量 , 推算 三 维 晶粒 体 积 分 布 特 征参量 可及 VC 认v) 是 可行 的 , 也 是 有 效 的 . 参 考 文 献 1 余永 宁 , 刘国权 . 体视学: 组织定 量分析 的原理 与应用 . 北 京: 冶金工业出版社 , 1 9 8 9 2 L i u G . A PP li e d S te re o l o g y i n M a te ir a l s S e i e n e e an d E n g i n e e ir n g . J 诵 e or s e , 19 9 3 , 1 7 1 : 5 7 3 hR i ne s F N , C 仙 9 K R , oR u s s e D A . M e as uer m e n t o f A v e ar g e G r a j n V o l um e an d eC rt a l n T o po l o g - i e a l P a r a ll l e et sr by S e ir a l S e e it o n A n al y s i s . M e at l l T anr s , 19 7 6 , 7A : 1 7 2 9

·272· 北京科技大学学报 1997年第3期 4 Desch C H.The Solidification of Metals from the Liquid State.J Inst Metals,1919,22:241 5 Fatima V,Fortes M A.Grain Size Distribution:the Lognormal and the Gamma Distribution Functions. Script Metall,1988,22:35 6 Gundersen H J G,Jensen E B.Stereological Estimation of the Volume-weighted Mean Volume of Particle Observed on Random Sections.J Microsc,1985,138:127 7 Rhines F N,Patterson B R.Effect of the Degree of Prior Cold Work on the Grain Volume Distribu- tion and the Rate of Grain Growth of Recrystallized Aluminum.Metall Trans,1982,13A:985 8 Hull FC.Plane Section and Spatial Characteristics of Equiaxed Brass Grains.Mater Sci Tech,1988,4: 778 9 Okazaki K,Conrad H.Grain Size Distribution in Recrystallized Alpha-titanium.Trans JIM,1972,13 198 10 Nunez C,Domingo S.Statistical Considerations on Uniform Grain Size.Metall Trans,1982,13A:2937 11 Andrade PA,Fortes MA.Distribution of Cell Volumes in a Voronoi Partition.Phil Mag B,1988,58:671 12 Kumar S.Properties of a Three Dimensional Possion-voronoi Tesselation:a Monte Carlo Study.J Stat Phy,1992,67:523 13 Kurzydlowski K J,Bucki J J.A Method for Grain Size and Grain Size Uniformity Estimation-appli- cations to Polycrystalline Materials.Script Metall Mater,1992,27:117 14 Liu G Q,Yu H B,Li W Q.Efficient and Unbiased Evaluation of Size and Topology of Space-fill- ing Grains.Acta Stereol,1994,13:281 15 Jensen E B,Sorensen F B.A Note on Stereological Estimation of the Volume-weighted Second Moment of Particle Volume.J Microsc,1991,164:21 16 DeHoff R T,Liu G Q.On the Relation between Grain Size and Grain Topology.Metall Trans. 1985,16A:2007 17 William W M,Smith C S.A Study of Grain Shape in an Aluminum Alloy and Other Applications of Stereoscopic Microradiography.Trans AIME,1985,194:755 18于海波，刘国权，徐学军.三维晶粒尺寸及拓扑分布测量方法的比较研究.中国体视学与图像分析，1996， 1:10 Relation between the Volume-weighted and Number-weighted Grain Volume Distribution Function Yu Haibo Liu Guoquan Materials Science and Engineering School.UST Beijing,Beijing 100083,PRC ABSTRACT Three-dimentional grain size distribution might be well described by a gamma or a lognormal distribution.On the basis of these two kinds of distribution func- tions,the relationships of the characteristic parameters between the volume-weighted and the number-weighted grain volume distributions are derived theoretically and demonstrated experimentally.The method can be used to estimate the grain volume distribution parame- ters,such as the average grain volume and the coefficient of variation of grain volume distribution,from two-dimensional measurements on sections through polycrystals, KEY WORDS grain size distribution,gamma distribution function,lognormal distribution function,single-phase polycrystals

. 2 72 . 北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 79 年 第 3期 4 De s e h C H Th e S o l idi fi c a ti o n o f M e tla s fro m the L i q饭 d S ta te . J I n s t M e tla s , 1 9 19 , 2 2 : 2 4 1 5 aF it m a V , oF ert s M A . C m i n S i z e 以s itr bu it o n : th e oL g n o mr al an d ht e G a n l m a n s itr b iut o n FI 川 e it ons . S e ir Pt M e alt l , 19 8 8 , 2 2 : 3 5 6 G u n de sr e n H J G , J e n s e n E B . S te re o l o g i e al sE it m a it o n o f ht e V o lum e 一 w e ig h te d M e an V o lum e of R 红石c l e o b s e vr e d o n R a n d o m S e e it o n s . J M i e or s e , 1 9 8 5 , 1 3 8 : 12 7 7 R五ine s F N , P a te rs o n B R E fe c t o f ht e eD g re e o f P ir o r C o ld W o rk o n ht e G r a i n V o lum e 以s itr b卜 it o n an d hte aR te o f ( 汀a l n G r o w ht o f eR e ry s atl l i z e d A l u n l l n um . M e atl l T御 s , 19 8 2 , 13 A : 9 85 8 uH ll F C . lP ane S e e it o n a n d S P a it al hC a r a c et ir s it c s o f qE 位 ax e d B asr s G 面 n s . M a et r s e i eT c h , 19 8 8 , 4 : 7 7 8 9 o k az iak K , C o 】l r a d H . C n 石n Si z e 以s itr b u it o n i n eR c ry s atl li z e d IA P h a ~ it t a n lum . T 片nL s l M , 19 7 2 , 1 3 19 8 10 N u n e z C , I) 〕而n g o 5 . S at it s it e al C o n s ide ar 石o n s on U n ifo mr G r a i n Si z e . M 七alt l T r a n s , 19 82 , 1 3A : 2 9 37 1 I A刀d狡己e P A , oF ’ret s M A . 以s itr bu it o n o f 0 11 V o lum e s i n a V o r o n o i P出石it o n . P hi l M a g B , 19 8 8 , 5 8 : 6 7 1 12 K 切m ar 5 . P or pe 川 e s o f a T卜er e 众 m e ns i o n al oP s s i on 一 v o onr o i eT s s e l a it o n : a M o n ot C教lr o S t u d夕 . J S at hP y , 19 92 , 67 : 52 3 1 3 K u rZ y d l ow s ik K J , B uc ik J J . A M e ht ed fo r G ar i n Si z e an d G ar i n S i z e U n ifo nm yt ES it m iat on ~ a PP】1 - e iat o n s ot P o l y e yr s at lli ne M a t e ir al s . S e ir tP M e alt l M a et r , 19 , 2 , 2 7 : 1 17 14 iL u G Q , Y u H B , iL W Q . E if c i e n t an d nU ih as e d vE al u a it o n o f Si z e an d oT op l o g y o f S PaC e 一 if l l - ign G arj ns . A c at S te re o l , 1 9 9 4 , 1 3 : 2 8 1 1 5 J e n s e n E B , S o er n s e n F B . A No et o n S et er o l o g i e al ES it m a it o n o f het V o lum e 一 w e i g h et d S e e o n d M o r n e n t o f P aJ 七e l e V o l u n l e . J M l e or s e , 19 9 1 , 1 6 4 : 2 1 1 6 eD H o f R T , L i u G Q . O n ht e 掩l a it o n be wt e e n G ar i n S i z e an d G 厂 幻n T o po l o g y . M e tal l T咖 5 . 1 98 5 , 1 6 A : 2 0 0 7 1 7 W il li am W M , S而ht C 5 . A Sut d y o f G ar i n S h a pe i n an 月 um i n um lA l o y a n d O het r A p li e a it o n s o f Set er o s e o iP e 场 e or ar d i o g ar Ph y . T m s A IM E , 1 9 85 , 1 94 : 7 5 5 18 于 海波 , 刘 国权 , 徐学军 . 三维 晶粒 尺寸及拓扑分 布测量方 法的 比较研究 . 中国体 视学与 图像分析 , 1 9 9 6 , 卜 10 R e l at i o n b e wt e e n th e V o l u m e 一 w e i g h t e d a n d N u m b e r 一 w e i g h t e d G r a i n V Q l u m e D i s tr ib u t i o n F u n e t i o n uY 从 z ib o 且u M a et ir al s S e i e nc e a n d E n g i n e e ir n g S e h o o l , G u o q u a n U S T B e ij ign , B e ij i n g 10 0 0 8 3 , P R C A B S T R A C T T五re e 一 d im e n it o n al g iar n s i z e d i s itr b u it o n 而g h t be w e ll d e s e ir be d 勿 a g田 m r n a o r a l o g n o rm a l d i s itr ob it o n . O n hte b as i s o f hte s e tw o ik n d s o f d i s itr b u it o n fu n e - it o n s , het er l a it o n s ih Ps o f het e h a acr et ir s it e P a r a m e et sr be wt e e n ht e v o l imt e 一 w e i g h et d an d ht e n um be 卜w e i g h et d g 面 n v o l um e d i s tir b u it o n s a er de ir v e d ht e o er it e al ly an d d e m o n s t ar et d e x pe ir m e n alt ly . hT e m e ht de c a n be u s e d ot e s it m a et ht e g 而 n v o l um e d i s itr b u it o n P a n u n e - et sr , s uc h as ht e va e ar g e g iar n v o l u m e an d ht e e oc if e i e n t o f v a ir a it o n o f g面 n v o l um e id s itr bo it o n , fr o m 饮 。 一 d i m e n s i o n a l m e as u er m e n st o n s e e it o n s ht or u g h po l y c yr s alt s , K E Y W O R D S g而 n s i z e d i s itr b u it o n , g anu a d i s itr b u it o n fu cn it o n , l o g n o mr al id s itr b u it o n fu cn it o n , s i n g l e 一 Ph as e op ly c yr s at l s