G,G3 0.1s+1)(s+1) 见图8-8 1)线性部分的反馈回路等效为线性部分G (s),如图8-9所示。 G(s)= G2H 1+GG2G (0.1s+1)(s+1) S(0.ls+1)(s+1)+20 (1)归化的典型结构,见图8-10 图8-8 AxN Nz) G(s) N(x) 1+GG2G3 图8-9 图8-10 例8-5将图8-11所示的非线性系统简化成非线性部分N(A)和等效线性部分G(s) 相串联的典型结构(以便应用描述函数法)。写出等效线性部分的传递函数。 解:对于图a),可简化成图8-12,再化为图8-13 N G(s) G(s) HSHN (a) (b) 图 1+H4s) 图8-12 图8-13 等效线性部分的传递函数为 G(s)=G(s)[1+H1(s)] 对于图(b),可简化成图8-14,再化为图8-15
·53· 图 8-8 (0.1 1)( 1) 20 1 3 s s H G G 见图 8-8。 1）线性部分的反馈回路等效为线性部分 G （s），如图 8-9 所示。 (0.1 1)( 1) 20 (0.1 1)( 1) 1 1 ( ) 1 2 3 2 2 2 s s s s s G G G G G H G G s （1） 归化的典型结构，见图 8-10 图 8-9 图 8-10 例 8-5 将图 8-11 所示的非线性系统简化成非线性部分 N(A)和等效线性部分 G(s) 相串联的典型结构(以便应用描述函数法)。写出等效线性部分的传递函数。 解：对于图(a)，可简化成图 8-12，再化为图 8-13。 （a） （b） 图 8－11 图 8-12 图 8-13 等效线性部分的传递函数为： G(s)=G1(s)[1+H1(s)] 对于图(b)，可简化成图 8-14，再化为图 8-15
H, (s) 图8-14 图8-15 等效线性部分的传递函数为:G(s)= G1(s)H1(s) 1+G1(s) 例8-6试确定图8-16所示非线性环节的描述函数。 (1)将图8-16所示非线性特性分解为典型特性之和,见图8-17 由非线性可知,并联非线性环节其描述函数代数相加,故 N0(X)=N1(X)+N2(X) )查表求出典型非线性特性N1(X),N2(X) N1(X)为典型继电特性,其描述函数可据表 查出N1(X)≈4M N2(X)=K是放大环节。 元X (3)求非线性环节的描述函数N(X),即 4M N(X)=N1(X)+N2(X)= + 图8-17 例8-7设非线性系统如图8-18所示,试讨论参数T对系统自振的影响。若T=025 试求出输出振荡的振幅和频率 54
·54· 图 8-16 图 8-14 图 8-15 等效线性部分的传递函数为： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 G s G s H s G s 例 8-6 试确定图 8-16 所示非线性环节的描述函数。 （1）将图 8-16 所示非线性特性分解为典型特性之和，见图 8-17。 由非线性可知，并联非线性环节其描述函数代数相加，故 ( ) ( ) ( ) N0 X N1 X N2 X （2）查表求出典型非线性特性 N1（X），N2（X）。 N1（X）为典型继电特性，其描述函数可据表 查出 N1（X）= ; 4 X M N2 (X ) K 是放大环节。 （3）求非线性环节的描述函数 N（X），即 K X M N X N X N X 4 ( ) ( ) ( ) 1 2 图 8-17 例 8-7 设非线性系统如图 8-18 所示，试讨论参数 T 对系统自振的影响。若 T＝0.25， 试求出输出振荡的振幅和频率
1+T 图8-18 4M 4Mh M 解:N(X) x)-/x=万N0(X)=4N(0O.x>b其中 no(X)=zX\ X X 4(h 其虚部Im 0.7854,实部R 的计算数据如下 N0(X) No(X) 丿h √2 xJ04x640x51-1618230385+61786 由于G(s)= 10(S+1)(TS+1) 10(1+7)0+川10(1-To2).当 025时,G()=12.510(1-02502) 。其实部、虚部计算数据如下: ReG(jo)s54331253 0.3-02-0.1 Im G(o) 402-0.30.4040.403-0302 0.57 利用上述数据,在复平面上作出4G()曲线(T=0.25)和-1/N0(X)曲线,如图 8-19所示。由图可见,B点对应自振,自振参数为X/h=1.1,O=12。因h=1,所 以自振振幅X=1.1,频率O=12 将振幅X折算到输出端,考虑到:
·55· 图 8-18 解： N X N X X h h M X Mh j X h X M N X ( ) 4 ( ), 4 1 4 ( ) 2 0 0 2 其中，M ＝4；h＝1，且 j h X N X X h j X h X h N X 1 ( ) 4 1 4 1 4 ( ) 2 0 2 2 0 其虚部 0.7854 ( ) 4 1 Im 0 N X ，实部 ( ) 1 Re N0 X 的计算数据如下： 由于 3 2 3 10(1 ) 10(1 ) , ( ) 10( 1)( 1) ( ) T j T G j s s Ts G s ，当 T＝ 0.25 时， 3 2 2 12.5 10(1 0.25 ) ( ) G j j 。其实部、虚部计算数据如下： 利用上述数据，在复平面上作出 4G( j) 曲线(T 0.25) 和 1/ ( ) N0 X 曲线，如图 8-19 所示。由图可见，B 点对应自振，自振参数为 X / h 1.1， 12 。因 h 1，所 以自振振幅 X 1.1，频率 12 将振幅 X 折算到输出端，考虑到： X/h 1 1．1 2 2 2.3 2.5 3 4 5 6 10 11 ( ) 1 Re 0 N x 0 -0.36 -0.785 -1.36 -1.63 -1.8 -2.22 -3.04 -3.85 -4.61 -7.81 -8.6 1.5 1.7 2.0 2.2 2.3 2.5 3 4 5 6 7 10 12 15 Re G ( j ) -5.5 6 -4.3 3 -3.1 3 -2.5 8 -2.3 6 -2 -1.3 9 -0.7 8 -0.5 -0.3 5 -0.2 6 -0.1 3 -0.0 9 0.06 Im G ( j ) 1.3 0.57 0 -0.2 -0.2 7 -0.3 6 -0.4 6 -0.4 7 -0.4 2 -0.3 7 -0.3 3 -0.2 4 -0.2 -0.1 6
X(s)= (Ts+1)(s+1) 所以输出振幅 0.346 s+1)s+1) 4c(j) 故输出端振荡的振幅cx=0.346,频率=12 为讨论T对自振的影响,令 =Iggo)= 1/l(X) 如=0得o7=3,代入y得 图8-19 y 4 ,得T T3 =0.138。此时对应4G()曲 No(X)」4 线-l/N0(X)曲线相切 由上可见,T对系统自振的影响为:T<0.138,4G()与-lN0(X)无交点,系统 不产生自振,但系统不稳定:T0.138,4G(0)与-1/N(X)有两个交点A和B,如 图8-19所示。小扰动时自振,大扰动时发散。T越大,自振振幅越小,自振频率越高 例8-8设非线性系统结构图如图8-20所示,试分析系统的稳定性 0.1s+ 图8-20非线性系统结构图 解:设内回路输出为c’,原系统结构图经等效变换后如图8-21所示,其中,N代表 原结构图中的饱和非线性环节。线性部分的传递函数为 (s+1)(0.1s+1) (s) S(0.l+(s+1)+20 饱和特性的描述函数为 图8-21等效结构图
·56· 图 8-21 等效结构图 图 8-19 ( ) ( 1)( 1) ( ) C s s Ts s X s 所以输出振幅 0 346 1 1 1 1 12 . ( )( ) . X s j X X Ts s s c 故输出端振荡的振幅 cX＝0.346，频率 12 。 为讨论 T 对自振的影响，令 3 2 10(1 ) Im ( ) T y G j 由 0 d dy 得 3 2 T ，代入 y 得 3 / 2 min 3 20 T y 令 ( ) 4 1 4 Im 0 min N X y ，得 0.138 320 3 2 / 3 T 。此时对应 4G( j) 曲 线 1/ ( ) N0 X 曲线相切。 由上可见，T 对系统自振的影响为：T<0.138，4G( j) 与 1/ ( ) N0 X 无交点，系统 不产生自振，但系统不稳定：T>0.138， 4G( j) 与 1/ ( ) N0 X 有两个交点 A 和 B，如 图 8-19 所示。小扰动时自振，大扰动时发散。T 越大，自振振幅越小，自振频率越高。 例 8-8 设非线性系统结构图如图 8-20 所示，试分析系统的稳定性。 图 8-20 非线性系统结构图 解：设内回路输出为c，原系统结构图经等效变换后如图 8-21 所示，其中，N 代表 原结构图中的饱和非线性环节。线性部分的传递函数为 (0.1 )( 1) 20 ( 1)(0.1 1) ( ) s s s s s G s 饱和特性的描述函数为
N(X)==arcsin+1-(-) X≥1 丌 -1= N(X) 利用计算机,求出G(jo)与-1/N(x)曲线的交点参数为O=421,x=1.712,说明该 系统存在周期运动。为确定该周期运动是否稳定,需判断G(s中正极点个数P。由G(s) 分母,画出等效系统 G(s) s(0.ls+1)(s+1) 的根轨迹,如图8-22所示。该等效系统的闭环极点(K=20)即为G(s)的极点。由根轨迹知, 当K>11时,G(s)有两个极点在右半复平面,故P=2 G=4.21 X=1.712 图8-22 图8-23 将G(jo)与-1/N(X)曲线绘在图8-23中,在两曲线交点M附近沿X增大方向取 点Q,作为等效(-1,j0)点,G(jo)曲线在该点以远有 N.-N=0≠P/2=1 故该非线性系统的周期运动解是不稳定的。 例8-9试求图8-24所示非线性系统的等效形式
·57· 2 2 ) 1 1 ( 1 1 arcsin 2 ( ) 1 ) , 1 1 1 ( 1 1 arcsin 2 ( ) X X X N X X X X X N X 利用计算机，求出G( j) 与 1/ N(X ) 曲线的交点参数为 4.21，X＝1.712，说明该 系统存在周期运动。为确定该周期运动是否稳定，需判断 G(s)中正极点个数 P。由 G(s) 分母，画出等效系统 (0.1 1)( 1) ( ) s s s K G s 的根轨迹，如图 8-22 所示。该等效系统的闭环极点(K=20)即为 G(s)的极点。由根轨迹知， 当 K>11 时，G(s)有两个极点在右半复平面，故 P＝2。 图 8-22 图 8-23 将G( j) 与 1/ N(X ) 曲线绘在图 8-23 中，在两曲线交点 M 附近沿 X 增大方向取 一点 Q，作为等效（-1，j0）点，G( j) 曲线在该点以远有 0 / 2 1 N N P 故该非线性系统的周期运动解是不稳定的。 例 8-9 试求图 8-24 所示非线性系统的等效形式。 （a） (b)