一、设一条二次Bezier曲线的控制顶点为Po，P1，P2，另一条二次Bezier曲线的控制顶点为Qo，Q1，QzP2-Qo,写出两条曲线可以精确合并（表示）为一条二次Bezier曲线的条件。解：如下图所示，由于可以精确合并，说明两曲线是由一条曲线在参数0<入<1处分割而来，如下图所示，假设原曲线的控制顶点为Po，X,Qz.由deCastejau算法，有：1.首先要求P1,P2(Qo),Qi三点共线XP1Q1-P2.Q0PoQ2Q, -Q1-9-Q0-X-P2.4O-XP,-PP-P于是有：-%-%(--P)=P+(α -20)g-9P-PQ1-Qo二、设一条三次Bezier曲线的控制顶点为Po，P1，P2，P3,对曲线上一点及一个给1（2）精确通过点T。定的目标点T，给出一种调整Bezier曲线形状的方法，使得精确通解：假设我们改变其中的一个控制顶点，比如将P1调整到P1+入，使得使得过点T，改变后的曲线记为P(）则有：
一、设一条二次 Bezier 曲线的控制顶点为 P0，P1 ，P2，另一条二次 Bezier 曲线的控制顶点 为 Q0，Q1 ，Q2, P2 = Q0, 写出两条曲线可以精确合并（表示）为一条二次 Bezier 曲线的条件。 解：如下图所示，由于可以精确合并，说明两曲线是由一条曲线在参数 0<<1 处分割而来， 如下图所示，假设原曲线的控制顶点为 P0 , X, Q2. 由 de Castejau 算法,有： 1. 首先要求 P1, P2(Q0), Q1三点共线 X P1 Q1 P2 = Q0 P0 Q2 2． 1 0 1 2 1 1 0 1 2 1 P P X P P P Q Q Q X Q Q ， 于是有： ) ( ) 1 ( 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 Q Q P P P P P P P Q Q Q Q Q 二、设一条三次 Bezier 曲线的控制顶点为 P0，P1 ，P2，P3, 对曲线上一点 2 1 P ，及一个给 定的目标点 T，给出一种调整 Bezier 曲线形状的方法，使得 2 1 P 精确通过点 T。 解：假设我们改变其中的一个控制顶点，比如将 P1调整到 P1 ＋ ，使得使得 2 1 P 精确通 过点 T，改变后的曲线记为 Pt ˆ 则有：
3P(t)=PB.,(0)+1. B..1316i=0即T = P(-)+α·B所以，只需将P调整到P+T-P(即可12三、给定型值点(0,0),(0,100),(100,0),(100,100)，如对应的参数为0,，1，反求插值这四个3°3型值点的三次Bezier曲线的控制点。1.2解：假设控制顶点为bo,b,b,b,，由Bezier曲线的公式，将参数为0,，1代入曲线方程，3'3即有：b, =(0,0),b, =(100,100),8+2b.+41.bo+(0,100) =b,+b2799274128bo+?b+=b2+(100,0)=2727993501000650700),b,解方程组可得b,=0.3333一处的值，四、计算以(30,0),(60,10),(80,30),(90,60),(90,90)为控制顶点的四次Bezier曲线在t=2并画出deCasteljau三角形。解：值为（75,34.375）(30,0)(60,10)>(45,5)(80,30)>(70,20)(57.5,12.5)L(90,60)>(85,45)>(77.5,32.5)>(67.5.22.5)(90,90)(90,75)→(82.5,46.25)> (75,34.375)→(87.5.60)1一处的值为五、设一条三次Bezier曲线的前三个控制顶点为(30,0),(60,20)(80,20),曲线在t=2
) 2 1 ( ) ( ) ( ˆ 1,3 2 1 ,3 3 0 2 P t 1 P B t B t i i i t 即 ) 2 1 ) ( 2 1 ( T P B1,3 所以，只需将 P1调整到 ) 2 1 ) / ( 2 1 ( P1 T P B1,3 ，即可。 三、给定型值点(0,0),(0,100),(100,0),(100,100)，如对应的参数为 ,1 3 2 , 3 1 0, ，反求插值这四个 型值点的三次 Bezier 曲线的控制点。 解：假设控制顶点为 0 1 2 3 b ,b ,b ,b ，由 Bezier 曲线的公式，将参数为 ,1 3 2 , 3 1 0, 代入曲线方程， 即有： (0,0) b0 ， (100,100) b3 ， 0 1 2 3 0 1 2 3 27 8 9 4 9 2 27 1 (100,0) 27 1 9 2 9 4 27 8 (0,100) b b b b b b b b 解方程组可得 ) 3 700 , 3 650 ), ( 3 1000 , 3 350 ( b1 b2 。 四、计算以(30,0),(60,10),(80,30),(90,60),(90,90)为控制顶点的四次 Bezier 曲线在 2 1 t 处的值， 并画出 de Casteljau 三角形。 解：值为（75, 34.375） (30,0) (60,10) (80,30) (90,60) (90,90) (45,5) (70,20) (85,45) (90,75) (57.5,12.5) (77.5,32.5) (87.5,60) (67.5,22.5) (82.5,46.25) (75,34.375) 五、设一条三次 Bezier 曲线的前三个控制顶点为(30,0),(60,20),(80,20),曲线在 2 1 t 处的值为
（70，15），试求最后一个控制顶点。解：（1)由deCasteljau算法Pr=(1-t)Pr-l+tPit=1/2,可求得：P/=(45,10)，P,=(70,20)，Pz=(57.5,15)同理可反推角点：P=1/2(P+P）=(70,15)，可得P=(82.5,15)类似可得，P=(95,10)，P,=(110,0)(2）对三次Bezier曲线，C(l)=(1-1)P+3(1-1)"P+3r(1-0)P+'P，设P(x3,ys)，则有×30+3×(1-=x(1-02×60+3×)×80+()3×x,=70x(1-2221) ×0+3×=×(1--)2 ×(1-)×20+()3×y3=15(-)2×20+3×(22O解得,=110,=0，即最后一个控制顶点为(110,0)
（70，15），试求最后一个控制顶点。 解：（1）由 de Casteljau 算法 r 1 i 1 r 1 i r 1 P 1 t P tP ( ) t=1/2, 可求得： P (45,10) 1 1 , P (70,20) 1 2 , P (57.5,15) 2 2 同理可反推角点： P 1/ 2(P P ) (70,15) 2 3 2 2 3 3 ，可得 P (82.5,15) 2 3 类似可得， P (95,10) 1 3 ， P (110,0) 3 （ 2 ） 对三次 Bezier 曲线， 3 3 2 2 1 2 0 3 C(t) (1 t) P 3t(1 t) P 3t (1 t)P t P ， 设 ( , ) 3 3 3 P x y ，则有 ) 15 2 1 ) 20 ( 2 1 ) (1 2 1 ) 20 3 ( 2 1 (1 2 1 ) 0 3 2 1 (1 ) 70 2 1 ) 80 ( 2 1 ) (1 2 1 ) 60 3 ( 2 1 (1 2 1 ) 30 3 2 1 (1 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 y x 解得 x3 110, y3 0 ，即最后一个控制顶点为(110,0)