§2.1线性空间 §2线性空间 线性空间同构的判定方法： 设U和V是同一数域F上的两个线性空间，是从U到V的 一个映射，如果： (1)f是一个双射； (2)f是一个线性映射，即f(ax+Bx2)=Cf(x)+Bf(x2) 则称f是U到V的同构映射，并说U与V同构。 定理：域F上每一个维线性空间都和空间F"同构。 (即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的。)
线性空间同构的判定方法： 设U和V是同一数域F上的两个线性空间，f是从U到V的 一个映射，如果: （1）f是一个双射； （2）f是一个线性映射，即 则称f是U到V的同构映射，并说U与V同构。 定理：域F上每一个n维线性空间都和空间 同构。 1 2 1 2 f x x f x f x ( ) ( ) ( ) + = + n F （即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的。） § 2.1 线性空间 § 2 线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 同构的意义： 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的 元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的 只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构 的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯 本质的特征就是它的维数。 同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应 的关系，而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保 持着，即x*y=z之f(x)·f(y)=f(z)
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 同构的意义： 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的 元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的 只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构 的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一 本质的特征就是它的维数。 同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应 的关系，而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保 持着，即x*y=z f（x）· f（y）=f（z）
§2.1线性空间 §2线性空间 例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨 论的三元素置换群与下述6个2X2矩阵相对矩阵乘法构成的 群是同构的。 -为 B 例如AXB=F, 23 从右向左：把1换为3，再把3换为3,1→3→3,2→2-→1 3今1今2，所以123 对应刚好是置换F。 312
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨 论的三元素置换群与下述6个2X2矩阵相对矩阵乘法构成的 群是同构的。 1 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 0 0 1 I F D − − − = = = − − − 1 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 0 0 1 A C B − − − = = = − − 例如AXB=F， 1 2 3 1 2 3 = 2 1 3 3 2 1 A B 从右向左：把1换为3，再把3换为3，1 3 3, 2 2 1 3 1 2，所以 1 2 3 对应刚好是置换F。 3 1 2
§2.1线性空间 §2线性空间 而AXB'=F', 刚好是置换F' 般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个 系统便是同构的，或结构等同的
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 1 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 0 0 1 − − = − − − 而A ′ XB ′ =F ′ ， 刚好是置换F ′ 。 一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个 系统便是同构的，或结构等同的
§2.2线性变换 §2线性空间 线性变换的定义 定义：指在线性空间V(F)中变换A,对每一个x,y∈V 有确定的向量Ax∈V,Ay∈V,且对任意的a,b∈F 有A(ax+by)=aAx+bAy 则称A为线性变换也称线性算子。式中α，b为标量 线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。 0x=0,x=x 即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变 换是把任意向量变换成自身的线性变换
定义：指在线性空间V(F)中变换A, 对每一个 有确定的向量 ，且对任意的 有 则称A为线性变换也称线性算子。式中a，b为标量 x y V , Ax V Ay V , a b F , A ax by aAx bAy ( ) + = + § 2.2 线性变换 § 2 线性空间 一、线性变换的定义 线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。 0 0, x Ix x = = 即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变 换是把任意向量变换成自身的线性变换