§2.1线性空间 §2线性空间 又a1+b,+c1=0,a2+b2+c2=0 .a1+a2+b+b2+C1+C2=0,A+B∈W 另一方面，对于Vk∈R, k4 00c ka kb kc k(a +b+c)=O 故又有kA∈W, 即：W对矩阵的加法与数乘是封闭的，W,是 子空间
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0, 0 0 0 0 0 ( ) 0 a b c a b c a a b b c c W k R ka kb k kc ka kb kc k a b c k W W W + + = + + = + + + + + = + = + + = + + = A B A A 又 ， 另一方面，对于 ， 故又有 即： 对矩阵的加法与数乘是封闭的， 是 子空间
§2.1线性空间 §2线性空间 五、线性空间的基与维数 基：指线性空间V中的最大线性无关的子集。V中的任一向 量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。 维数：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。 例：实三维空间中的三个向量组成一组基 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1) 因为它们是线性无关的且任意向量x均可表示成这三个 向量的线性组合 x=∑xe
五、线性空间的基与维数 基：指线性空间V中的最大线性无关的子集。V中的任一向 量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。 维数：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。 例：实三维空间中的三个向量组成一组基 1 2 3 e e e = = = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 因为它们是线性无关的且任意向量x均可表示成这三个 向量的线性组合 3 1 i i i x = x e = § 2.1 线性空间 § 2 线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 例：写出实数域R上矩阵空间R3的一组基，求dimR2x3, 并求 在此基下的坐标。 解：在R2x3中设有2x3 阶矩阵E，其中位于(i,)的 元素为1，其他元素为0。如 E2= 010 000 容易证明 E1,E12,E13E21,E22,E23 是R23的一组基，且线性无关， 任何矩阵A∈R3均可由它们线性表示。 所以dimR2x3=6 又由于A=-2E,+6E2+E,3+0E21-E2+3E23，所以A在 该基下的坐标为：(-2,6,1,0，-1,3)
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 解：在 中设有 阶矩阵 ，其中位于 的 元素为1，其他元素为0。如 ，容易证明 是 的一组基，且线性无关， 任何矩阵 均可由它们线性表示。 所以 又由于 ，所以A在 该基下的坐标为： 2 3 2 3 R Eij ( , ) i j 12 0 1 0 0 0 0 E = 11 12 13 21 22 23 E E E E E E , , , , , 2 3 R 2 3 A R 2 3 dim 6 R = 11 12 13 21 22 23 A E E E E E E = − + + + − + 2 6 0 3 ( 2,6,1,0, 1,3)T − − 例： 写出实数域R上矩阵空间 的一组基，求 ， 并求 在此基下的坐标。 2 6 1 0 -1 3 A − = 2 3 R 2 3 dim R
§2.1线性空间 §2线性空间 六、线性空间的同构 (A)映射的定义：设S1和S2是两个非空集合，如果按 照一定的法则f,对于S1中的每个元素x,都存在S2中的一个 确定的元素y与之对应，则称f为定义在S1上取值于S2中的一 个映射，记为y=f(x),y称为x在映射f下的像。 S1: S2 X 集S1称为映射f的定义域 集S2称为映射f的值域 映射的种类：满射、单射、双射
六、线性空间的同构 （A）映射的定义：设S1和S2是两个非空集合，如果按 照一定的法则f ，对于S1中的每个元素x，都存在S2中的一个 确定的元素y与之对应，则称f为定义在S1上取值于S2中的一 个映射，记为 y f x = ( ) ，y称为x在映射f 下的像。 S1： § 2.1 线性空间 § 2 线性空间 f S2 x y 集S1称为映射f的定义域 集S2称为映射f 的值域 映射的种类： 满射、单射、双射
§2.1线性空间 §2线性空间 (B)线性空间的同构 设S=(E,*}和S={E',·}是分别具有封闭运算*和的 代数系统，假设f是一个从E到E'的双射，即一一映射，它给 每个属于E的元4，b,c,.∈E,都有指定的属于E'的元， f(a),f(b),f(c),…∈E',与之对应 E: E' fa b fb 设a*b=c,则c>f(c)=f(a*b)同构即要求 若a*b-c则f(a)·f(b)f(c)
（B）线性空间的同构 设S=｛E, *｝和S′= ｛E′ , ·｝是分别具有封闭运算*和·的 代数系统，假设f是一个从E到E′ 的双射，即一一映射，它给 每个属于E的元a，b，c， … ∈ E，都有指定的属于E′ 的元， f（a）， f（b）， f（c） ， … ∈ E ′ ，与之对应 § 2.1 线性空间 § 2 线性空间 E： f E′ f(a) 设a*b=c，则c f（c）=f（a*b）同构即要求 a b f(b) f 若a*b=c 则 f（a）· f（b）=f（c）