§2.2线性变换 §2线性空间 例：设，是R空间的一个给定的单位向量，对于空间任 一向量r，若变换A的定义为A(r)=(,) 则A是一个线性变换。 证明： A(k+k正)=(k+k))o =k(·)fo+k(店·o)% =kA()+k2A) 满足线性变换定义，得证
§ 2.2 线性变换 证明： 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ( ) (( ) ) ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) A k k k k k k k A k A + = + = + = + 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 r r r r r r r r r r r r r r 满足线性变换定义，得证。 § 2 线性空间 例： 设 是 空间的一个给定的单位向量，对于空间任 一向量 ，若变换 的定义为 则 是一个线性变换。 ˆ 0 r 3 R r A( ) ( ) = ˆ ˆ 0 0 r r r r A A
§2.2线性变换 §2线性空间 例 由关系式 -m8 确定 了xOy平面上的一个变换T,说明T的几何意义， 解：记 x=rcose 则： y =rsin (G)-)G)- xcoso-ysing xsin+ycos 8）-sm8p》 上式表明：变换T把任一向量按逆时针 方向旋转0角
cos sin sin cos , . cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin co x x T y y xOy T T x r y r x x x y T y y x y r r r − = = = − − = = + − = 由关系式 确定 了 平面上的一个变换 说明 的几何意义 解：记 则： 例 cos( ) s sin sin cos sin( ) r r r T + = + + 上式表明：变换 把任一向量按逆时针 方向旋转 角。 § 2.2 线性变换 § 2 线性空间
§2.2线性变换 §2线性空间 例.在R中定义变换T:T(x1,x2,x3)=(x,x2+x3,0) 则T不是一个线性变换 这是因为Va=(a1,a2,a)、B=(b,b2,b)∈R Ta=T(a,a2,a3)=(a,a2+a43,0) TB=T(b,b2,b)=(b2,b2+b3,0) T(a+B)=T(a1+b,a2+b2,a3+b3） =[(a+b)2,a2+43+b2+b,0] ≠(a,a2+a3,0)+(b,b2+b,0)=Tca+TB 所以，T不是线性变换
§ 2.2 线性变换 § 2 线性空间 3 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 1 1 ( , , ) ( , ,0) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , ,0) ( , , ) ( , ,0) ( ) ( , , ) [ . ( ) , T T x x x x x x T a a a b b b T T a a a a a a T T b b b b b b T T a b a b a b a b R R = + = = = = + = = + + = + + + = + 在 中定义变换 ： 则 不是一个线性变换。 这是因为 、 例 2 3 2 3 2 2 1 2 3 1 2 3 ,0] ( , ,0) ( , ,0) . a a b b a a a b b b T T T + + + + + + = + 所以， 不是线性变换
§2.2线性变换 §2线性空间 二、基本运算： (1)变换加法： (A+B)x=Ax+Bx (2)变换数乘： (cA)x≡C&(Ax) (3)变换乘法： (AB)X≡A(Bx) 其中A,B 是线性变换，x是线性空间V中的向量。 说明：(1)线性变换相乘一般不服从交换律。 (2)满足下述运算性质 (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA
§ 2.2 线性变换 二、基本运算：（1）变换加法： （2）变换数乘： （3）变换乘法： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A A AB A B + = + x x x x x x x 其中 A B, 是线性变换， x 是线性空间V中的向量。 说明：（1）线性变换相乘一般不服从交换律。 （2）满足下述运算性质 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C AB C A BC A B C AB AC B C A BA CA + + = + + = + = + + = + § 2 线性空间
§2.2线性变换 §2线性空间 三、线性变换的逆变换： 如果线性变换A满足： (1)若x≠y,则Ax≠Ay,(即Ax=Ay→x=y) (2)对y∈V,存在x∈V,使得Ax=y 则存在A的逆变换，记为A,称A是可逆的。且 A41=AA=1 可逆性的判定定理： (I)若AB=CA=I,则A1=B=C: (②)若A,B可逆，则AB也可逆， 且(AB)1=BA1,(A)1=A: (3)若Ax=0则意味着x=0时，A可逆
三、线性变换的逆变换： 如果线性变换A满足： （1） （2） 则存在A的逆变换，记为 ，称A是可逆的。且 , ,( ) , , x y Ax Ay Ax Ay x y V x V Ax y = = = 若 则 即 对y 存在 使得 1 A − 1 1 AA A A I − − = = 可逆性的判定定理： 1 -1 1 1 1 1 (1) , ; (2) , ( ) ,( ) ; (3) 0 0 AB CA I A B C A B AB AB B A A A Ax x A − − − − − = = = = = = = = 若 则 若 可逆，则 也可逆， 且 若 则意味着 时， 可逆。 § 2.2 线性变换 § 2 线性空间