北方工业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 参数估计（例题详解）

例713求参数为p的0-1分布的最大似然估计 解 P{X=0}=1-p P(x=m}=p(1-p)l吗(m=0,1) P{X=1}=p (X-X =p(I-p)-XIL>L(X,,X TIp(1-p) n =p(-p)mhnL=C∑x)p+(m-∑x)m(1-P) dIn L ∑x1m∑ 十 =0(-p)∑x+p(m-∑x)=0 dp p 解得p=∑Xm最大似然估计为 i=1 X=X n

例7.1.3 求参数为p的0-1分布的最大似然估计. 解. P{X=0}=1-p P{X=1}=p P{X=m}=pm(1-p)1-m  (m=0,1) P{X=x}=px (1-p)1-x = − − n i 1 xi 1 xi p (1 p) ( x )ln p (n x )ln(1 p) n i 1 i n i 1  i + − − = =  −  = = = − n i 1 i n i 1 i x n x p (1 p) 0 1 p n x p x n i 1 i n i 1 i = − − +   = = (1 p) x p(n x ) 0 n i 1 i n i 1 −  i + − = = = L(x1 ,x2 ,...,xn ;p) = lnL = = dp dlnL 解得 = = n i 1 Xi n 1 p 最大似然估计为 X X n 1 p n i 1 =  i = = 

例714XN(,2求参数μ,G2的最大似然估计 解:f(x,2o)= μ 2 √2 O 2兀d2 2)=∏I ∑ (x;-) X 2c 1942,°9n9 2π 2兀2 In L= nIn( ∑(x;- n ln2兀d 2t0 2of= ∑(x;- 2a2日 aIn L du ∑ (x;-p)2=0 aInL n ∑x-m2=2 2220 ∑(x-) n i=1

例7.1.4.X~N(μ,σ2 ),求参数μ,σ2的最大似然估计. 解: 2 2 2 (x ) 2 e 2 1 f(x, , )  − −    = 2 2 2 (x ) 2 e 2 1  − −   = =  − −   n i 1 2 (x ) 2 2 2 i e 2 1 L(x ,x ,...,x ;, ) = 2 1 2 n    = = −  − n i 1 2 i 2 (x ) 2 1 n 2 ) e 2 1 ( lnL =  −  −   = n i 1 2 2 i 2 (x ) 2 1 ) 2 1 nln(  −   = −   − = n i 1 2 2 i 2 (x ) 2 1 ln 2 2 n (x ) 0 1 n i 1 2 2 i −  =  − = (x ) 0 2 1 2 n n i 1 2 2 4 i −  =  +  − =  =   lnL =   2 lnL  X X n 1 n i 1  =  i = =    = =  = −  = − n i 1 2 i n i 1 2 i 2 (x X) n 1 (x ) n  1

例715.设X服从[0,区间上的均匀分布参数 入>0,求的最大似然估计 解:由题意得:X~(x)=1 0其它 L(x 0≤x1,x2…,xn≤λ 19429°94n ) 0 其它 dIn L n 0无解基本方法失效 d入 应用最大似然估计基本思想:L越大,样本观察值越可能出现 考虑L的取值,要使L取值最大,应最小,0≤x1,x2y…,XnS 取=mnx(x1,x2y…,xn)此时,取值最大, 所以,所求最大似然估计为=mx(x1x2…,xn

例7.1.5.设X服从[0,λ]区间上的均匀分布,参数 λ>0,求λ的最大似然估计. 解:由题意得:          =  0 其 它 0 x 1 X ~ f(x; ) L(x1 ,x2 ,...,xn ;) =          0 其 它 0 x ,x ,...,x 1 n 1 2 n = d dlnL 0 n n 1 =  − + 无解.基本方法失效. 考虑L的取值,要使L取值最大,λ应最小, 0  x1 ,x2 ,...,xn   取 max(x ,x ,...,x )  = 1 2 n 此时,L取值最大, 所以,所求最大似然估计为 max(x ,x ,...,x )  = 1 2 n  应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现

例7.1.6设总体X~f(x)= ∫(+1)x,0×x<10>-1 ,其他 其中θ是未知参数X1,…,Xn是来自总体的一个容量为n 的sr.s,求的最大似然估计 解:由题意得: (0+1)x;0<X;<1,i=1,2 L(x 19299n 6) 其它 当0<x;<1(i=12,,m)时 hL=l()IIx"1=n0+)+∑n dInL n d6+1 ∑mnx1=0 0=-1 所求最大似然估计为 ∑ In X

例7.1.6设总体X～     +     − =  0 ,其 他 ( 1)x ,0 x 1, 1 f(x) 其中 是未知参数. 是来自总体的一个容量为 n 的s.r.s,求 的最大似然估计.  1 Xn X ,  ,  解:由题意得: L(x1 ,x2 ,...,xn ;) = 当 0  xi  1 (i = 1,2,...,n) 时， lnL = ln( 1) [ x ] n i 1 i n =   + = =  + +  n i 1 xi nln( 1) ln = d dlnL ln x 0 1 n n i 1 + i =  + = 所求最大似然估计为 =  = − − n i 1 Xi ln n 1         +   = =  0 其 它 ( 1)x 0 xi 1,i 1,2,...,n n i 1 i

注意:同一个未知参数的矩估计量和 最大似然估计量不一定一样(如正态分布的 完全一样,而均匀分布的就不一样)

同一个未知参数的矩估计量和 最大似然估计量不一定一样(如正态分布的 完全一样,而均匀分布的就不一样). 注意: