单自由度无阻尼自由振动系统 以弹簧振子为例得出普遍结论: 动力学特征 k 合 由FA 0 合 X 运动学特征 三-0J 微分方程特征 n xX d ox=O dt
单自由度无阻尼自由振动系统 x o k 运动学特征 动力学特征 F合 = 由 F合 = ma = −kx 微分方程特征 x 0 dt d x 2 2 2 + = kx 以弹簧振子为例得出普遍结论： x x m k a 2 = − = − m k =
解 dt 可得 位移x=AcO(0t+q)振动方程 速度 Ao sin(at +)=A@ cos(at+o+) 加速度a==-42oO+9)=A2cos(o+g+z) ot 2
加速度 2 2 cos( ) cos( ) dv a A t A t dt = = − + = + + 速 度 sin( ) cos( ) 2 dx v A t A t dt = = − + = + + 2 4 6 8 10 12 14 -1 -0.5 0.5 1 v t x a 解 dt x 0 可得 d x 2 2 2 + = 位 移 x = Acos( t + ) 振动方程
常数A和p的确定 说明: x=Acos(ot+o) (1)一般来说φ的取值在一m和 ==-Asin(t+o)r(或0和2m)之间; 0 Acos Vo=-Aosin g
常数A和 的确定 0 0 2 2 0 0 x v tg v A x = − ＝ + sin cos 0 0 v A x A = − = sin( t ) cos( ) = = − + = + A dt dx v x A t 说明： (1) 一般来说 的取值在－π和 π(或0和2π)之间；
结论: 1)单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函 数或统称为谐波函数表示的,故称为简谐振动, (2)自由振动的角频率即系统的自然频率仅由系统本 身的参数所确定,而与外界激励、初始条件等均无 关 (3)无阻尼自由振动的周期为m T =2兀 k (4)自由振动的振幅X和初相角由初始条件所确定 (5)单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动
结论： (1)单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函 数或统称为谐波函数表示的，故称为简谐振动， (2)自由振动的角频率即系统的自然频率仅由系统本 身的参数所确定，而与外界激励、初始条件等均无 关． (3)无阻尼自由振动的周期为 (4)自由振动的振幅X和初相角由初始条件所确定。 (5)单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动。 1 2 n m T f k = =
有阻尼系统的自由振动 x(n mi(t)+cx(t)+k(t)=0 x(t)+25o,x(t)+ox(t=0 式中: k C 2mO,2√mk 通解为 x(t=Xe s12=(-5√22-1)n
有阻尼系统的自由振动 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) ( ) 0 , 2 2 n n n n mx t cx t kx t x t x t x t k c c m m mk + + = + + = = = = 式中： 通解为： 2 1,2 ( ) ( 1) st n x t Xe s = = − −