复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）07 多项式（第五章）

次数大于或等于1的多项式p(x)∈K[x],若不能表示成K(x中两个 次数均比p(x)低的多项式之积,则称p(x)为数域K上的一个不可约 多项式。 Q一次多项式总是不可约的; Q多项式的可约性与系数域相关,如x3-2在Q上不可 约,在R上可约;而x2+1在R上不可约,但在C上是可约 0设p(x)是数域K上的不可约多项式,f(x)∈K(x], 则(p(x),f(x)|p(x),而P(x)的因式只有常数或P(x)的倍 式,所以(p(x),f(x)=1或(P(x),f(x)=cP(x),所以有或 是p(x)与f(x)互素,或是p(x)|f(x);关系只有二者之一

pê õ‘ª Ϫ©) ½Â gêŒu½u 1 õ‘ª p(x) ∈ K [x]§eØUL«¤ K [x] ¥ü‡ gêþ' p (x) $õ‘ªƒÈ§K¡ p (x) ê K þ‡ØŒ õ‘ª" 5 1 gõ‘ªo´ØŒ¶ 2 õ‘ªŒ5†Xꍃ'§X x 3 − 2 3 Q þ، §3 R þŒ¶ x 2 + 1 3 R þ،§3 C þ´Œ " 3  p (x) ´ê K þ،õ‘ª§f (x) ∈ K [x]§ K (p (x), f (x)) | p (x)§ p (x) Ϫk~ê½ p (x)  ª§¤± (p (x), f (x)) = 1 ½ (p (x), f (x)) = cp (x)§¤±k ½ ´ p (x) † f (x) pƒ§½´ p (x) | f (x)¶'Xköƒ"

设p(x)是K上不可约多项式,如果p(x)|f(x)g(x),则必 有p(x)|f(x)或p(x)lg(x)。 如果不可约多项式p(x)整除f(x)2(x)…fn(x),是必整除其中之一。 定理(因式分解定理) 数域K上次数大于或等于1的多项式f(x)都分解成一些不可约多项 式的乘积;且这种分解式在不计次序时是唯一的。 即:若 f(x)=cp1(x)P2(x)…pr(x)=cq1(x)92(x)…q(x) 则必有r=s,且有一个全排列(i1i2…ir),使得 Pk(x)=响1(x),k=1,2…,r

pê õ‘ª Ϫ©) Ún  p(x) ´ K þ،õ‘ª§XJ p(x) | f(x)g(x)§K7 k p(x) | f(x) ½ p(x) | g(x)" 5 XJ،õ‘ª p(x) Ø f1(x)f2(x)· · · fn(x)§´7ØÙ¥ƒ" ½n (Ϫ©)½n) ê K þgêŒu½u 1 õ‘ª f(x) Ñ©)¤ ،õ‘ ª¦È¶…ù«©)ª3ØOgSž´" =µe f(x) = cp1(x)p2(x)· · · pr(x) = cq1(x)q2(x)· · · qs(x), K7k r = s§…k‡ü (i1 i2 · · · ir)§¦ pk (x) = qik (x)§k = 1, 2, . . . ,r"