初等数论中的平行结果 定理13(带余除法).设m,n是两个整数,m≠ 0.则存在唯一的一对整数q,r满足 1 )n=mq+r 2)0≤r< 这个数r称为n被m除的余数 证明:令={maa∈Z,m≤n}显然r≠ 0.由于整数集合T以m作为一个上界,故∏中 有一个最大数,记作mq令r=m-mq.则 n=mq tr, 并且 0<T 余下只要证明r<m|即可。假定r≥|m|.如 果m>0,则m(q+1)=mg+m=n-T+m≤m, 故m(q+1)∈r,与mg的选取矛盾。如果m< 0,则m(q-1)=mq-m 故m(q-1)∈I,同样与mq的选取矛盾。 唯一性的证明留作练习。口
Ð êØ¥²1(J ½n13 ( {Ø{). m, n ´üê§m 6= 0. K3éê q, r ÷v 1) n = mq + r; 2) 0 ≤ r < |m|. ùê r ¡ n m Ø{ê" y²µ- Γ = {ma|a ∈ Z, ma ≤ n}. w, Γ 6= ∅. duê8Ü Γ ± n þ.§Γ ¥ kê§P mq. - r = n − mq. K n = mq + r, ¿ 0 ≤ r. {ey² r < |m| ="b½ r ≥ |m|. X J m > 0, Km(q + 1) = mq +m = n−r +m ≤ n, m(q + 1) ∈ Γ, mq Àgñ"XJ m < 0, K m(q − 1) = mq − m = n − r − m ≤ n, m(q − 1) ∈ Γ, Ó mq Àgñ" 5y²3öS" ✷
定义6.设m,m是不全为零的两个整数。若正整 数d是m,m的公因子,并且m,m的任何一个公 因子都整除d,则称d为m,m的最大公因子,记 作gcd(mn,m) 定理14.设m,n是不全为零的两个整数,则它 们的最大公因子存在且唯一,并且存在整数u, 使 gcd(m, n)=mu+nv 定理15(孙子定理).设q,,9是一组两两互 素的自然数。对于任给的非负整数a1,,ar,假 如a;<91对1≤i≤r都成立,则存在一个整 数n使得对每个i,整数n被g;除的余数恰好 是
½Â6. m, n ´Ø "üê"e ê d ´ m, n úÏf§¿ m, n ?Ûú ÏfÑØ d, K¡ d m, n úÏf§P gcd(m, n). ½n14. m, n ´Ø "üê§K§ úÏf3 , ¿ 3ê u, v ¦ gcd(m, n) = mu + nv. ½n15 ( f½n). g1, . . . , gr ´|üüp g,ê"éu?Kêa1, . . . , ar, b X ai < gi é 1 ≤ i ≤ r Ѥá§K3 ê n ¦éz i, ê n gi Ø{êTÐ ´ai .
〈孙子算经〉 今有物不知其数,三三数之剩二,五五数 之剩三,七七数之剩二,问物几何?
3f²4 /8kÔØÙê§nnê§ÊÊê n§ÔÔꧯÔAÛº0
作业: p194:4,5,6.7
µ p.194:4,5,6,7
多项式的因式分解 定义7.设K是一个数域,p(x)∈K[]满足以下 条件: (1)deg(p)>0: (2)p(x)不能分解成两个次数小于deg(p)的多 项式的乘积。 则p(x)称为K中的一个不可约多项式。满 足条件(1)但不满足条件(2)的多项式称为可约多 项式 注]不可约性与数域K有很大关系。 例8.)x2+1是R]中的不可约多项式,但不 是cz]中的不可约多项式,因为在Cd]中x2+ 1=(x-)(x+) 2)x2-2是Qd]中的不可约多项式,但不 是Rz中的不可约多项式,因为在R[x]中x2 2=(x-√2)(x+v2) 3)任何一个一次多项式是不可约多项式 1)注意2x+4是不可约多项式
õªÏª©) ½Â7. K ´ê§p(x) ∈ K[x] ÷v±e ^µ (1) deg(p) > 0; (2) p(x) ØU©)¤ügêu deg(p) õ ª¦È" K p(x) ¡ K[x] ¥Øõª"÷ v^(1)Ø÷v^(2)õª¡õ ª" [5] Ø5ê K ké'X" ~8. ) x 2 + 1 ´ R[x] ¥Øõª§Ø ´ C[x] ¥Øõª§Ï3C[x] ¥x 2 + 1 = (x − i)(x + i). 2) x 2 − 2 ´ Q[x] ¥Øõª§Ø ´ R[x] ¥Øõª§Ï3R[x] ¥x 2 − 2 = (x − √ 2)(x + √ 2). 3) ?Ûgõª´Øõª" 4) 5¿ 2x + 4 ´Øõª"