引理7.设f1(x),,fn(x)∈K]全不为零。假 定n>2.设1<r<n.记 di(a)=gcd(fi(a),., fr(a)) d2(a)=gcd(r+(c),., fn(a)) r+1( d(a)=gcd(di(c), d2(a) 则d(x)是f1(x),,,fn(x)的最大公因式 证明:由d(x)d1(x),d(x)dl2(x)得知d(x)整除 每个f(x) 假定h(x)整除每个f(x),则h(x)整除f1(x),…,Jf/(x 中任何一个,因而h(x)|d1(x).同理h(x)|d2(x).所 以h(x)d(x)口
Ún7. f1(x), . . . , fn(x) ∈ K[x] Ø""b ½ n > 2. 1 ≤ r < n. P d1(x) = gcd(f1(x), . . . , fr(x)), d2(x) = gcd(fr+1(x), . . . , fn(x)), d(x) = gcd(d1(x), d2(x)). K d(x) ´ f1(x), . . . , fn(x) úϪ" y²µd d(x)|d1(x), d(x)|d2(x) d(x) Ø z fi(x). b½ h(x) Øz fi(x), K h(x) Ø f1(x), . . . , fr(x) ¥?Û§Ï h(x)|d1(x). Ón h(x)|d2(x). ¤ ±h(x)|d(x). ✷
练习 设f1(x),,fn(x)不全为零,则它们的最大 公因式存在且在相差一个非零常数的意义下唯
öS f1(x), . . . , fn(x) Ø "§K§ úϪ3 3 "~ê¿Âe "
作业: 194:1,2,3
µ p.194: 1,2,3
定义5.若gcd(f(x),g(x)=1,则称f(x)和g(x) 互素。 引理8.f(x)和g(x)互素的充要条件是存在u(x),v(x)∈ Klc 1f(c)u(a)+g(c)v(a)=1 证明:→:由定义立得。 令={a(x)f(x)+bx)9(x)a(x,b(x)∈ K[x]}.则1∈r.而1在r的非零元素中次数达 到最小值,所以gcd(f(x),g(x)=1.口 注]对任意一组多项式f(x),g(x),(x),v(x),d(x), 即使f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x),也不能说d(x) gcd(f(x),g(x).[见习题3,p.190
½Â5. e gcd(f(x), g(x)) = 1§K¡ f(x) Ú g(x) p" Ún8. f(x) Ú g(x) p¿^´3 u(x), v(x) ∈ K[x] ¦f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1. y²µ⇒: d½Âá" ⇐: - Γ = {a(x)f(x) + b(x)g(x)|a(x), b(x) ∈ K[x]}. K 1 ∈ Γ. 1 3 Γ "¥gê §¤± gcd(f(x), g(x)) = 1. ✷ [5] é?¿|õª f(x), g(x), u(x), v(x), d(x), =¦f(x)u(x) +g(x)v(x) = d(x), ØU` d(x) = gcd(f(x), g(x)). [SK3,p.190]
系9.如果g(x)与f1(x),…,fn(x)中每个多项式 互素,则9(x)与f1(x)…fn(x)互素 证明:对每个都存在v(x),v2(x)使 fi(a)ui (a)+g(a)v; (a) 移项得 f(x)u1(x)=1-9(x)1(x) 全部相乘得 f1(x)…fn(xu1(x)…n(x)=1-9(x)b(x) 再次移项得 f1(x)…fn(x)u1(x)…tn(x)+9(xb(x)=1 注]书上推论(5.3.5)是本推论的特殊情形
X9. XJ g(x) f1(x), . . . , fn(x) ¥zõª p§K g(x) f1(x)· · · fn(x) p" y²µéz i Ñ3 ui(x), vi(x) ¦ fi(x)ui(x) + g(x)vi(x) = 1. £ fi(x)ui(x) = 1 − g(x)vi(x). ܦ f1(x)· · · fn(x)u1(x)· · · un(x) = 1 − g(x)b(x). 2g£ f1(x)· · · fn(x)u1(x)· · · un(x) + g(x)b(x) = 1. ✷ [5] ÖþíØ(5.3.5) ´ íØAÏ/