《高等数学》课程教学资源：第十一章 幂级数（11.2）函数展开成幂级数

函数展成界级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数,因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数,那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解

函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解

、泰勒级数 上节例题∑(-1) ln(1+x)(-1<x≤1) oo 存在幂级数在其收敛 f(x)=∑a1(x-x0)”域内以为和函数 n=0 问题:1.如果能展开,an2是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数?

一 、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1           x x n x n n n n n n f (x) a (x x ) 0 0      存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?

定理1如果函数f(x)在U(x)内具有任意阶导 数,且在U(x)内能展开成(x-x0)的幂级数, 即f(x)=∑a1(x-xn) 则其系数an=,fm(x0)(n=0,1,2,… 且展开式是唯一的 证明:∑an(x-x0)在u(x内收敛于f(x,即 n=0 f∫(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)”+

定理 1 如果函数 f (x)在 ( ) 0 U x  内具有任意阶导 数, 且在 ( ) 0 U x  内能展开成( ) 0 x  x 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0      则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0  f ( ) x n   n a n n 且展开式是唯一的. 证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n  n     f (x)  a0  a1 (x  x0 )  an (x  x0 )n 

逐项求导任意次,得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+ f"(x)=n:an+(n+1)n…3.2an+1(x-x0)+ 令x=x0,即得 f("(x)(n=0,,2,…)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,∴f(x)的展开式是唯一的

逐项求导任意次,得 f (x)  a1  2a2 (x  x0 )  nan (x  x0 )n1  f (n)(x)  n!an  (n  1)n3 2an1(x  x0 )  令 x  x0 , 即得 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0  f ( ) x n   n a n n 泰勒系数 泰勒系数是唯一的,  f (x)的展开式是唯一的

定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 (x-x0)”称为f(x)在点x的泰勒级数 n=0 ∑ ∫()x"称为f(x)在点x的麦克劳林级数 H=0 问题f(x)2∑/x(x-x) 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定

如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )     称为 f (x)在点 0 x 的泰勒级数. n n n x n f   0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点 0 x 的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( )      泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义