例如f(x)={e ≠0 0 在x0点任意可导,且∫(0)=0(n=0,1,2,) f(x)的麦氏级数为∑0x =0 该级数在(-0,+0)内和函数s(x)≡0 除x=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于∫(x)
0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 在x=0点任意可导, (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) n 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(,)内和函数 s(x) 0. 除 x 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛 于 f (x)
定理2f(x)在点x的泰勒级数在U。(x)内收 敛于f(x)冷在U(x)内imRn(x)=0 n→ 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, f(x)=∑(x-x)+R,(x) =0 R,(x)=f(x)-sn(x),. lim smu+(x)=f(r) n→0 lim, (x)=limlf(x)-sni(x)=0;
定理 2 f (x)在点 0 x 的泰勒级数,在 ( ) 0 U x 内收 敛于 f (x)在 ( ) 0 U x 内lim ( ) 0 Rn x n . 证明 必要性 设f (x)能展开为泰勒级数 , ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i ( ) ( ) ( ), 1 R x f x s x n n lim ( ) ( ) 1 s x f x n n lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] 1 f x s x n n 0;
充分性∵∫(x)-5n1(x)=Rn(x) limlf(x)-smn()=lim rn (x)=0. n→0 n→)0 即 lim s+(x)=∫(x), f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 定理3设∫(x)在U(x0)上有定义,彐M>0,对 x∈(x-R,x+R,恒有f(x)≤M (n=0,1,2,…),则∫(x)在(x0-R,x+R内可展 开成点x的泰勒级数
充分性 ( ) ( ) ( ), 1 f x s x R x n n lim[ ( ) ( )] 1 f x s x n n lim R (x) n n 0, lim ( ) ( ), 1 s x f x n n 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 R x0 R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 R x0 R 内可展 开成点x0 的泰勒级数
证明 (n+1) n R,(x) n+1 x-x X- ≤M 0 0 n (n+1) n+1 x∈(x0-R,x0+R) ∑ x-x,在(,+∞收敛, (n+1)! -./"+ m 0,=0,故im n→>∞(n nn(x)=0, x∈(x0-R,x0+R) 可展成点x的泰勒级数
证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 n x x M n ( , ) x x0 R x0 R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 收敛 n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 n x x n n lim ( ) 0, R x n n 故 ( , ) x x0 R x0 R . 可展成点x0的泰勒级数