二、n阶常系数齐次线性微分方程 (n)+piy n)+…+pn1y+pny=0 特征方程为r+pr"-1+…+pnr+pn=0 特征方程的根通解中的对应项 若是k重根r(C+C1x+…+Ck1x)e 若是k重共轭(Cn+Cx+…+C1x)copx 复根α土j +(D+D1x+…+D-1x)sin阝xle K
二、n阶常系数齐次线性微分方程 0 1 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y p y p y p y n n n n 特征方程为 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n r p r p r p 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r k rx k (C C x C x )e 1 0 1 1 − + ++ − j k 复根 若是 重共轭 k x k k k D D x D x x e C C x C x x − − − − + + + + + + + ( )sin ] [( )cos 1 0 1 1 1 0 1 1
Example2.求解下列微分方程(1)y()-y=0, (2)y4)-2ym+y”=0, (3)6)+y4)+2y3)+2y"+y+y=0 Solution.(1)特征方程为r4-1=0, 解得n=1,2=-1,n4=土 故所求通解为 y=Ce+ce+C3 cos x+ Ca sinx (2)特征方程为r-2r3+r2=0, 解得n=h2=0,= 故所求通解为y=C1+C2x+(C3+C4x)e
Example 2. 求解下列微分方程 (1) 0, (4) y − y = (2) 2 0, (4) y − y + y = (3) 2 2 0. (5) (4) (3) y + y + y + y + y + y = Solution. (1)特征方程为 1 0, 4 r − = r = r = − r = i 1 2 3,4 解得 1, 1, 故所求通解为 cos sin . y C1 e C2 e C3 x C4 x x x = + + + − (2)特征方程为 2 0, 4 3 2 r − r + r = 解得 r1 = r2 = 0,r3 = r4 = 1 故所求通解为 ( ) . 1 2 3 4 x y = C +C x + C +C x e
(3特征方程为r5+r4+2r3+2r2+r+1=0, (r+1)(r2+1)2=0, 特征根为n=-1,吃=乃=i,n=巧=-, 故所求通解为 y=Ce+(C2+C3x)cos x+(C4+Csx)sinx K
特征根为 1, , , 1 2 3 4 5 r = − r = r = i r = r = −i 故所求通解为 ( )cos ( )sin . y C1 e C2 C3 x x C4 C5 x x x = + + + + − 2 2 1 0, 5 4 3 2 (3)特征方程为 r + r + r + r + r + = ( 1)( 1) 0, 2 2 r + r + =