二、典型例题 例1求门23t 解原式-2=y,的81( 3 3 In 2 n +c 3Jt= t+ 2In- 2(n3-In2)t+1 2 32-2 +c 2(n3-In2)3+2
二、典型例题 例1 − = dx x x ) 1 2 3 ( ) 2 3 ( 2 解 原式 . 9 4 2 3 − dx x x x x 求 − = ) 1 2 3 ( ) 2 3 ( 2 3 ln 1 2 x x d − 1 2 3 ln 1 2 t dt + − − = dt t t ) 1 1 1 1 ( 2 3 2 ln 1 C t t + + − − = 1 1 ln 2(ln 3 ln 2) 1 . 3 2 3 2 ln 2(ln 3 ln 2) 1 x x C x x + + − − = t x ) = 2 3 令(
例2求 e(l+sin x) cos x e(1+2 sinCOS 解原式=∫ dx cos e +e tan dx cos ∫ed(an)+ an a de"]=a(etan e tan -+C
例 2 解 . 1 cos (1 sin ) ++ dx x e x x 求 + = dx xx x e x 2 2cos ) 2 cos 2 (1 2sin2 原式 = + dx x e x e x x ) 2 tan 2 2cos1 ( 2 ] 2 ) tan 2 [( (tan = + x x de x x e d = ) 2 ( tan x d e x . 2 tan C x e x = +
例3求 ln(x+√1+x2)+5 1+x 2 解∴ln(x+√1+x2)+5 2x x+√1+r 21+x 1+x 原式=√m(x+√1+x2)+5.dln(x+√1+x2)+5 n(x+√1+x2)+5}2+C. 3
例 3 解 . 1 ln( 1 ) 5 2 2 + + + + dx x x x 求 [ln( 1 ) 5] 2 x + + x + , 1 1 2 + x = ln( 1 ) 5 [ln( 1 ) 5] 2 2 = + + + + + + 原式 x x d x x [ln( 1 ) 5] . 32 23 2 = x + + x + + C) 2 12 (1 11 2 2 x x x x + + + + =
例4求 x+1 x"√x 解一令x=,(倒代换) 原式 Mt=-1-t2 1+t - dt rdt d(1-t - arcsin t+√1-t2+C arcsin -+C
例4 解一 . 1 1 2 2 − + dx x x x 求 , 1 t 令x = dt t t t t ) 1 ( ) 1 1 ( 1 1 1 2 2 2 − − + = 原式 dt t t − + = − 2 1 1 − − + − = − 2 2 2 2 1 (1 ) 1 1 t d t dt t = − t + − t + C 2 arcsin 1 . 1 arcsin 1 2 C x x x − + − = (倒代换)
解二令x=seet x+1 sect+1 d x secttan tdt sec- ttant sect+1 (1+cost )dt sec t =t+sint+c 七七 +arccos -+C
解二 令 x = sec t − + dx x x x 1 1 2 2 t tdt t t t sec tan sec tan sec 1 2 + = dt t t + = sec sec 1 = (1+ cost)dt = t + sin t + C C x x x + + − = 1 arccos 1 2 x 1 1 2 x − t