本讲主要内容 分离变量法求解泊松方程 山东大学物理学院宗福建
本讲主要内容 分离变量法求解泊松方程 山东大学物理学院 宗福建 16
§24分离变量法 我们知道静电场标势所满足的泊松方程为: 其特解之一为: I p(r) p-4汇EV 有限区域分布电荷,选无限远处电势为零时的解。 山东大学物理学院宗福建
§2.4 分离变量法 我们知道静电场标势所满足的泊松方程为： 其特解之一为： 有限区域分布电荷，选无限远处电势为零时的解。 2 1 ( ') 4 V x dV r = − = 山东大学物理学院 宗福建 17
§24分离变量法 对一般情况,设泊松方程的解为: 9=四大 p(x") freyr 即 泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解 山东大学物理学院宗福建
§2.4 分离变量法 对一般情况，设泊松方程的解为： 则， 即： 泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解 2 1 ( ') ' 4 ' 0 ' 0 V x dV r = + = = 山东大学物理学院 宗福建 18
§24分离变量法 在许多实际问题中,静电场是由带电导体决定的。 例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板 上所带电荷决定的;又如电子光学系统的静电透镜 内部,电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表 面上,在空间中没有其它自由电荷分布。因此,如 果我们选择这些导体表面作为区域的边界,则在V 内部自由电荷密度ρ≡0,因而泊松方程化为比较 简单的拉普拉斯( Laplace)方程。 山东大学物理学院宗福建
§2.4 分离变量法 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。 例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板 上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜 内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表 面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如 果我们选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较 简单的拉普拉斯（Laplace）方程 。 山东大学物理学院 宗福建 19
§24分离变量法 拉普拉斯( Laplace)方程的通解可以用分离变量法 求出。先根据界面形状选择适当的坐标系,然后在 该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用 的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用 球坐标系得出的通解形式(见附录Ⅱ)。球坐标用 (R,8,φ)表示,R为半径,8为极角,φ为方位角。 山东大学物理学院宗福建
§2.4 分离变量法 拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法 求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在 该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用 的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用 球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用 （R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。 山东大学物理学院 宗福建 20