第十二讲 复习 P(G)=x5BE(F)(外场对介电物质的极化),其中极化强度的定义为 ∑F 它描述了宏观物质对外场的响应。x:极化率;它是刻画电介 质的一个本征量,不同的电介质z不同。(对比:j=aE,x、的具体计 算需参照“微观理论,量子理论”。) ●知道了E→P,那么P如何反过来→E? 与极化电荷分布p的关系 P:ds=2=⑩P(F 因此,只要知道P的空间分布即可求知空间的极化电荷分布。(注意:在真空 及金属中,P=0) (四)有介质存在时的电场及高斯定理 真空中电场强度 E∈q 介质中的电场强度E=E E,(自由电荷产生的电场)∈q(自由电荷) E2(极化电荷产生的电场)∈q,(极化电荷) 根据库仑定律 E=E+e 1 P,(r)dr (F-P)+ P,(rdr 4 E,和q,之间及E和qn之间分别满足高斯定理(高斯定理的推导中并不要求 电场的来源是自由电荷还是极化电荷!只用到了库伦定律的平方反比性!) oE ds=q,=e, (di ufE4s=92=「n(F)F 则总场与总电荷分布之间亦满足高斯定理
第十二讲 复习 z Pr Er () () = χε 0 （外场对介电物质的极化），其中极化强度的定义为 r r r r V p P i i Δ = ∑ v r ，它描述了宏观物质对外场的响应。 χ ：极化率；它是刻画电介 质的一个本征量，不同的电介质 χ 不同。（对比： Ejv v = σ ， χ 、σ 的具体计 算需参照“微观理论，量子理论”。） z 知道了 PEv v ⇒ ，那么 P v 如何反过来 E v ⇒ ？ P v 与极化电荷分布 ρ P 的关系 ( ) P P V V − ⋅= = P dS Q r dV ρ ∫ ∫∫∫ v r r 因此，只要知道P v 的空间分布即可求知空间的极化电荷分布。（注意：在真空 及金属中， P = 0 v ） （四）有介质存在时的电场及高斯定理 真空中电场强度 ⇐ qEr 介质中的电场强度 EEE pf v v r += E f v （自由电荷产生的电场）⇐ q f （自由电荷） Ep r (极化电荷产生的电场）⇐ qp （极化电荷） 根据库仑定律 )( )( 4 1 )( )( 4 1 3 3 0 3 3 0 rr rr rdr rr rr rdr EEE f p pf rr rr rr rr vv r − ′ − ′ ′′ − ′ + − ′ ′′ =+= ∫ ∫ ρ πε ρ πε （1） Ef v 和 f q 之间及 和 之间分别满足高斯定理（高斯定理的推导中并不要求 电场的来源是自由电荷还是极化电荷！只用到了库伦定律的平方反比性！） E p v p q 3 0 3 0 ( ) ( ) f ff p pp E dS q r dr E dS q r dr ε ρ ε ⋅== ⋅== ∫ ∫ ∫ ∫ ρ v v r r v v r r （2） 则总场与总电荷分布之间亦满足高斯定理：
E ds q 由于 P·dS (4) 带入上式可得 etp)ds= q 如果定义一个新的辅助物理量:电位移矢量 D(r)=CE(r)+P( 则,其满足的高斯定理为 币D(,d=9 (7) 在介质中辅助矢量D⑦满足的高斯定理与在没有电介质的情况下源电场E() 满足的高斯定理一致! fE, ds (8) 这就是我们引入辅助矢量D()的好处!!求解辅助矢量D(F)时只要知道q,不 要求知道极化电荷的情况。 对于线性介质 D=EXE(r) 因此,电位移矢量为 ()=E0E(F)+P() CE(r+EXE(r) (10) =E0(1+x)E()=E0EE()=EE(P) 其中, 8=80Er (11) 为介质中的介电常数,而 erl 是个无量纲的比例常数,称作相对介电常数。为了看清楚(11)-(12)的物理 意义,将(10)式代入(7)式可得
0 0 ( ) E dS E E dS q q f p f ε ε ⋅ = + ⋅ =+ ∫ ∫ p r v v r r （3） 由于 P V q P =− ⋅ ∫ dS v r （4） 带入上式可得 ∫ =⋅ qSdPE f vv v ) ε 0 ＋（ （5） 如果定义一个新的辅助物理量：电位移矢量 0 Dr Er Pr () () () = + ε r r r v v r （6） 则，其满足的高斯定理为 ( ) D r ds qf ⋅ = ∫ v r r （7） 在介质中辅助矢量 D r( ) 满足的高斯定理与在没有电介质的情况下源电场 r r ( ) E r f r r 满足的高斯定理一致！ 0 f f q E dS ε ⋅ = ∫ v v （8） 这就是我们引入辅助矢量 D r( ) 的好处！！求解辅助矢量 r r D r( ) r r 时只要知道 f q ，不 要求知道极化电荷的情况。 对于线性介质 0 Pr Er () () = ε χ v r r r （9） 因此，电位移矢量为： 0 0 0 0 0 () () () ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) r Dr Er Pr Er Er E r Er E ε ε εχ ε χ εε ε = + = + =+ = = r r r rr v v r r r r r r v r r v （10） 其中， 0 r ε = ε ε （11） 为介质中的介电常数，而 ε χ＋＝ 1 r （12） 是个无量纲的比例常数，称作相对介电常数。为了看清楚（11）-（12）的物理 意义，将（10）式代入（7）式可得
E(F)·dS= (13) 将(13)与(8)比较,可知:在一块均匀的线性介质中放置一个电荷q产生的 电场就等于其在真空中产生的电场,只要将真空介电常数代换为介质中的介电 常数E--这就是我们定义介电常数E的原因。 几点讨论: 1)电场的来源是电荷,不论是自由电荷还是极化电荷。 2)无论什么介质,(7)式总是正确的。但只有对线性介质,才可以利用 D(F)=EE()对(7)做进一步简化。 3)D是一个辅助矢量,并非我们真实面对的电场(以及产生的电场力),后者只 能由真实电场E决定!D有一些“象”源电荷产生的电场E,但并非万全一样! 剧考:为什么? 4)这里电场E(F)为总电场,或是局域场,包含了源电荷和极化电荷的贡献) 当介质中不存在极化x=0,5,=x+1=1,如真空,或空气。极化的程度越大, 则介电常数越大。亦可明白为什么我们要按照(9)式P(F)=E0xE(F)得方式 来定义极化率,而不是利用P()=50xE()来定义x。一方面的原因是物 理意义清楚-—极化当然正比于此地所受到的电场,而非源场;另一方面此定 义直接导致清晰简洁的物理结果。 (五)极化的完整图像 下面我们将具体讨论如何计算介质中的电场,得到极化的一个完整的图像及计算 方法。介质放在由无穷远处的源电荷激发的电场中 到此极化现象结束了吗?不
( ) f q E r ds ε ⋅ = ∫ r r r （13） 将（13）与（8）比较，可知：在一块均匀的线性介质中放置一个电荷 f q 产生的 电场就等于其在真空中产生的电场，只要将真空介电常数 0 ε 代换为介质中的介电 常数ε --- 这就是我们定义介电常数ε 的原因。 几点讨论： 1） 电场的来源是电荷，不论是自由电荷还是极化电荷。 2） 无论什么介质，（7）式总是正确的。但只有对线性介质，才可以利用 D() () r Er = ε r r r r 对（7）做进一步简化。 3）D 是一个辅助矢量，并非我们真实面对的电场（以及产生的电场力），后者只 能由真实电场 r E r 决定！D 有一些“象”源电荷产生的电场 r Ef r ，但并非万全一样！ 思考：为什么？ 4）这里电场 E( )r r r 为总电场，或是局域场，包含了源电荷和极化电荷的贡献）。 当介质中不存在极化 χ = 0 ， 1 1 r ε ＝χ + = ，如真空，或空气。极化的程度越大， 则介电常数越大。 亦可明白为什么我们要按照（9）式 0 Pr Er () () = ε χ v r r r 得方式 来定义极化率，而不是利用 0 () () Pr E r f = ε χ v r r r 来定义 χ 。 一方面的原因是物 理意义清楚 --- 极化当然正比于此地所受到的电场，而非源场； 另一方面此定 义直接导致清晰简洁的物理结果。 （五）极化的完整图像 下面我们将具体讨论如何计算介质中的电场，得到极化的一个完整的图像及计算 方法。介质放在由无穷远处的源电荷激发的电场中 EP 00 v r = χε 到此极化现象结束了吗？不
完整的图像为: 电场将介质极化,介质极化后产生极化电荷,极化电荷产生极化电场从而与 源”电场叠加改变总电场,总电场的改变又导致了对介质的极化的改变。如此 往返不已 用图形表示为 E0→P= E→P=x(E0+E) 自恰 这里,通常E又称为“退”极化场( Depolarization Field),因为En∥-E,它 的存在总是使得极化变弱 (1)初等法 E P Eox OXEN .p/ ZEo E6(1-x)|6z(1-x)E X(-Ze - X(-xEo 5-x+x2)04-x+)4Ex0-x+x2)55|-2-x+x2)E EN总=(1-x+x2-x3+…+(-x))E。-xE N→O时,E=∑(-x)-E 1-(-x)2 (2<1) 1+x 1+x FORe CEO 导致导致 E E EP- EE 极化对电场的影响
完整的图像为： 电场将介质极化，介质极化后产生极化电荷，极化电荷产生极化电场从而与 “源”电场叠加改变总电场，总电场的改变又导致了对介质的极化的改变。如此 往返不已… 。 用图形表示为 E0 r ⇒ EP 00 v r = χε ⇒ qp ⇒ Ep r ⇒ P E 0 0 p = + ε χ E v r v （ ） 自恰 这里，通常 又称为“退”极化场（Depolarization Field），因为 // Ep r Ep r E0 r － ，它 的存在总是使得极化变弱。 （1） 初等法 E总 P v σ p Ep r E0 ε 0 0 χE ε 0 0 χE 0 0 －P / ε ＝－χE 1( ) E0 − χ 0 (1 )E0 ε χ χ − 0 χ − χ)1( E 0 －χ − χ)1( E 2 0 E (1 ) − + χ χ 2 0 χ χ （－ + ） 1 χ ε E 2 0 0 χ χ （－ + ） 1 χ ε E 2 0 − −+ χ χχ （ ） 1 E M M M M 总 （ 总 （ ＝（ ＋－＋－ ＋（－ － N) 0 N) 32 1 E 1 )) EE N χχχ χ χ L − N ∞→ 时， 1 0 0 0 1 1( ) 1 ( ) 1 1 i i r E E E EE χ χ 0 χ χ ∞ ∞ − = − − ＝ ＝ ∑ − = = ＋ ＋ ε （ χ < 1） 0 00 1 EP E v r v ε χ χ χε ＋ = ＝ 0 0 1 E P Ep χ χ ε ＋ ＝－ ＝－ σ p＝P 极化对电场的影响
(2)上述方法虽然物理图像清晰,但受限于x<1的要求。下面介绍另一方法 自恰方法 E+e P=XE P E E=-=-xE1 Er=E+E=E0-xE7(自洽方程) E1(1+x)=E Eo E=,0 P=ExE=gE Er 1+x-x 1+x1+x E=Eo -Eo 后一项为退极场,是由极化的偶极子产生的场,此场“退”掉 些原来的E 6,利用介质中的高斯定理求解 例1.两平行金属板,面电荷密度分别为σ八、-σr,中间夹有极化率为x的电 介质,求空间的电场电荷分布。 解:(1)由介质中的高斯定理 qf 其中q为自由电荷;D=50E+P=E0(1+x)E
（2） 上述方法虽然物理图像清晰，但受限于 χ < 1的要求。下面介绍另一方法： 自恰方法 E EE T p = 0 + v v r ⇓ P 0 ET = ε χ v r ⇓ σ p ＝P E = χε 0 T ⇒ 0 p E E p T σ χ ε r v ＝－ ＝－ ET T = + EEE E 0 00 ＝ －χ （自洽方程） 0 (1 ) ET + = χ E ⇒ 0 1 T E E + χ ＝ 0 0 1 P ET E0 χ ε χ ε χ = v v r ＝ ＋ 0 0 0 1 11 1 T E E EE E0 χχ χ χ χ χ + − = =− ++ + v v vv v ＝ 后一项为退极场，是由极化的偶极子产生的场，此场“退”掉一 些原来的 E0 6．利用介质中的高斯定理求解 例 1. 两平行金属板，面电荷密度分别为σ f 、－σ f ，中间夹有极化率为 χ 的电 介质, 求空间的电场电荷分布。 解：（1）由介质中的高斯定理 ∫ =⋅ f qsdDv r 1 S σ f 其中q f 为自由电荷； PED E r v v r )1( 0 ＝ 0 ++= χεε