第八讲 上次课 电势能的引入U/()-U()= 能量的守恒与转化,电势能是相互作用能 *两个点电荷的电势能U/1 q142 4丌E|i;-F N个点电荷体系的电势能U= q1 9q 4Eo 5r 对点电荷之间的电势能只数一次,相互作用 电势,一个电荷体的做功的能力()-0()=-Ed 点电荷q9= 4E0 电荷体系分、l 1 p(r)dr 连续 P(r) 4兀E0 (5)举例 1,偶极子 q
第八讲 上次课： * 电势能的引入 ( ) () f i U f −Ui F d =− ⋅ ∫ v v l 能量的守恒与转化，电势能是相互作用能 * 两个点电荷的电势能 1 2 01 2 1 4 | | q q U πε r r = −r r N 个点电荷体系的电势能 0 1 4 | i j i j i j q q U πε > r r = − | ∑ r r 一对点电荷之间的电势能只数一次，相互作用 * 电势，一个电荷体的做功的能力 ( ) () f i ϕ ϕ f − i E =− ⋅ d ∫ r v l 点电荷 q 0 1 4 q r ϕ πε = 电荷体系 0 1 4 | | i i i q r r ϕ πε = − ∑ r r 连续 0 1 () ( ) 4 | | r dr r r r ρ ϕ πε ′ ′ = − ′ ∫ r r r r r （5）举例 1．偶极子 l +q -q r + r - P = q r r l
+q的位置0,+=)= q的位置(00,-)=E 线性叠加原理 (F)=V+(F)+V(F) 4ms0|-F|4xE0|产-F F-F厂=(-F)(F-F 2F]2≈(r2-2F,元) 2 F·F1F·F (1 (1+-2) 同理|- 48 qF·(-F)1F 4 4丌 2.电四极子 定义 q(0,0,)=F1-q(0,0,0) a (0,0,-()=F2 (0,0,0)=F q
+q 的位置 (0,0, ) 2 r + = + l r −q 的位置 (0,0, ) 2 r − = − l r 线性叠加原理 0 0 1 1 () () () 4 | | 4 | | q q Vr V r V r πε rr rr πε + − + − − =+= + − − r rr r r r r 1 1 2 | | rr rr rr (( ) ( ))− − − = − ⋅− + ++ rr rr rr 1 1 2 2 2 2 2 [ 2] (2 r r rr r rr ) − − = +−⋅ ≈ −⋅ + + + r r r r 1 2 2 2 1 11 2 (1 ) (1 ) rr rr rr r r r r rr − 3 + + + ⋅ ⋅ ⋅ = − ≈ + =+ rr rr rr 同理 1 3 1 | | r r r r r r − r ⋅ − − ≈+ − r r r 3 3 0 1 1 () [ ] 4 q rr rr V r πε rr rr + − ⋅ ⋅ = + −− r r r r r 3 33 0 00 ( ) 1 1 ~ 4 44 q r rr r q r rr ρ πε πε πε + − ⋅ − ⋅ ⋅ = == 2 r 1 r rr r r r r r l 2．电四极子 定义： 1 q r (0,0, ) + = + r l 1 q r (0,0,0) − = − r 2 q r (0,0, ) + − = + r l 2 q r (0,0,0) − = − r +q -q p -q +q p
线性叠加原理1 4TEo- F-r 阶近似结果为0,必须仔细考虑高阶贡献 厂沿任意方向的结果很复杂,计算沿Z方向 el+e 12zq2 478 Z-e [z2-2=z-()]=(1+) 22)z2+z4 Q=2q2 8 TE 单极q E 偶极P E 四极Q E~? V=Av +by+cv+ 高阶 delay快 3,荷电圆盘RQ=xRo I p(r)dr 解: 4TeoJr-r 1c2rdh·o 4丌
线性叠加原理 01 2 1 2 [ ] 4 | || | q q V πε rr rr r + + = + − − rr rr q − 一阶近似结果为 0，必须仔细考虑高阶贡献 r r 沿任意方向的结果很复杂，计算沿 Z 方向 0 1 2 [ ] 4 | || | q q V q πε Z Z Z = + − + l l − 2 2 0 12 2 [ ] 4 Zq q πε Z Z = − − l 2 2 2 21 2 21 2 22 1 1 [ ] [1 ( ) ] (1 ) 2 Z Z 4 Z Z ZZ −− − − = − = + ≈+ l l l l 2 3 3 0 0 12 1 [ ] 4 4 q Q V πε πε Z Z = = l 2 Q q = 2 l 单极 q 1 V ~ r 2 1 E ~ r 偶极 P 2 1 V ~ r 3 1 E ~ r 四极Q 3 1 V ~ r ? 1 E ~ ? r ...... V AV BV CV =+++ qPQ ↓ 高阶 delay 快 3．荷电圆盘 R 2 Q R = π σ 解： 0 1 () ( ) 4 | | r dr V r r r ρ πε ′ ′ = − ′ ∫ r r r r 2 2 0 1 2 ( ) 4 rdr V Z Z r π σ πε ⋅ = + ∫
gdr 2√r2+Z Z 80(r+Z R2+22 R2+22-1|2 28g (2+R)2=z(+(2yz+2(2 I R R V(Z) 28 2 Z2 4re z2 4re Z R>>Z (R2+z)%=R(+(2y7≤R+121R+2R 2R 2e(R-1ZD ≈ (6)电势→电场
2 2 2 1 2 2 2 0 0 1 2 4 4 ( ) R dr r Z r Z σ σ σ ε ε = = + ∫ + 22 2 0 [ ] 2 R Z Z σ ε = +− r z 2 2 0 [ | 2 R Z Z |] σ ε = +− Z >> R 1 1 22 2 2 2 2 1 2 ( ) [ (1 ( ) ] | |[1 ( 2 R R ZR Z Z ) ] Z Z + =+ ≈+ 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 22 4 4 RR Q V Z 2 Z Z Z0 σ πσ ε πε π = == ε R >> Z 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 ( ) [(1 ( ) ] [1 ] 2 2 Z Z RZ R R R R R R Z R + = + ≈ + ≈+ ≈ 0 () ( | |) 2 V Z σ R Z ε ≈ − ~z ~z -2 z V （6）电势 电场 ⇒
0(G1)-0()=-Ed 维 0(Z)-0(z)=-E2(Z)z 当24-2B=△Z→>0时 q(ZB+△z)-0(Z8)≈-E2(ZB)△Z E2(Z)≈-(z) qp(ZB+△z)-0(Z △Z AZ→0 E2z→d=dZ,(+△Z),F→(F)} 三维任何方向的电场积分path∥/该方向 Ez(x, y,=) a(x,y,2) aZ c((x y Ex(x, y,=) E OX Ex→>(F+△x),dC=dx,F→()} E(r=-Vo(r 产的方向与d的方向不必一样,无关系;E的方向与求导的方向相同E∥, lEko 0()→0(+n)n=δx+j ()举例 例1:由带电圆盘的电势,求周围电场。圆盘半径为R,电荷密度为σ。 解:(∠)=0 R2+z2-|Z 28
() () A B r A B r ϕ ϕ rr E − =− ⋅ ∫ r r d r r r r l 一维 ( ) ( ) () A B Z AB Z Z ϕ ϕ Z − =− ⋅ Z EZ ∫ dZ 当 ZZ Z A B − =Δ → 0 时 ( ) () () ϕ ZB BZ +Δ − ≈ − ⋅Δ Z Z EZ ϕ B Z 0 () ( ) () ( ) BB B Z B Z Z ZZ Z E Z Z Z ϕϕ ϕ Δ → ∂ + Δ − ≈− =− ∂ Δ { E d dZ r Z r r Z → = +Δ → , ( ), ( ) ϕ ϕ } r r r l r 三维 任何方向的电场 积分 path // 该方向 (, ,) (, ,) Z x y z E xyz Z ∂ϕ = − ∂ (, ,) (, ,) X x y z E xyz X ∂ϕ = − ∂ E y y ∂ϕ = − ∂ { ( ), , ( E r x d dx r X → +Δ = → ϕ ϕ r r) r r r l } ⇓ Er r () () = −∇ϕ r r r r r 的方向与 的方向不必一样，无关系； d r l E r 的方向与求导的方向相同 ， E n // ˆ r | | E n ∂ϕ = ∂ ϕ() ( ) r r → + ϕ n r r r n x = δ + δ y r r r (7) 举例 例 1：由带电圆盘的电势，求周围电场。圆盘半径为 R，电荷密度为σ 。 解： 2 2 0 () [ | |] 2 VZ R Z Z σ ε = +−