例:电子在晶体表面反射后,电子 可能以各种不同的动量p运动。 具有确定动量的运动状态用de Br。gie平面波表示 (Por-Er Aexp n 根据叠加原理,在晶体表面反射后,电子的状态ψ可表示 成p取各种可能值的平面波的线性叠加,即 H(,1)=∑c(P甲(,1)平(G,)=「c(p)H2(,1), 其中φ=如中,如由于是连续变化的, 所以后式应用积分代替了求和 而衍射图样正是这些平面浪叠加千涉的结果
例： = exp ( p• r − Et) i p A ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) p p p x y z r t c p r t r t c p r t dp dp dp dp dp p = = = ， 其中 由于 是连续变化的， 所以后式应用积分代替了求和。 电子在晶体表面反射后，电子 可能以各种不同的动量 p 运动。 具有确定动量的运动状态用de Broglie 平面波表示 根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示 成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即 而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 d Ψ Ψp
二)动量空间(表象)的波函数 波函数W(rt)可用各种不同动量的平面波表示,下 面我们给出简单证明。 令()=n (2m)3y expl,p·门 则ψ可按Φ。展开 展开 平(,1)=c(Dt),()唾 c(p,D) expl p·flφpφ,φ (2mh) 系数 c(1)=Φn()(r,1)dF (m1)冬(F、eon-pth 显然,二式加oie换式,故而总是威的。 所以亚(F,t) C(p, t) 是同—量乏的爾种洞描述方式。 ψ(G;t)是以坐标r为自变量的浪函数, 坐标空间浪函数,坐标表象浪函数; c(p,t)是以动量p为自变量的波函数 动量空间浪函数,动量表象浪函数; 二者描写同一量子状态
（二）动量空间（表象）的波函数 ⚫ Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； ⚫ C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； ⚫ 二者描写同一量子状态。 exp[ ] 2 1 ( ) 3/ 2 p r i r p = • （ ） 波函数Ψ(r,t) 可用各种不同动量的平面波表示， 下 面我们给出简单证明。 c p t p r r t dr ( , ) = ( )( , ) − 是同一量子态的两种不同描述方式。 所 以 与 一一对应， 显然，二式互为 变换式，故而总是成立的 。 (r,t) c( p,t) Fourier 展开 系数 r t c p t r dp p ( , ) = ( , ) ( ) − 令 则 Ψ可按Фp 展开 p r dxdydz i (r,t)exp[ ] 2 1 3/ 2 = − • （ ） − x y z p r dp dp dp i c( p,t)exp[ ] (2 ) 1 3/ 2 = • −
着(rt已归化,则C(p,t也是归一化的。 证明 c(P, t= (ry(r, t)d k(p,D)φ=c'(p,)c(应 ∫平G,,()M叮平r:,)0°n()p IY"(, t)Y(r, tdrdr' (r) p(r )dp IY"(F, ty(, tdrdr'8(-F') Y(r, t)y(, tdr=1 其中用了∫)()师=6(-)关系式 由此我们也可以看出抨面波归一化-函数的目的
若Ψ (r,t)已归一化，则 C(p, t)也是归一化的。 c p t dp c p t c p t dp | ( , )| ( , ) ( , ) 2 − = 证明： r t p r dr r t p r dr dp [ ( , ) ( ) ][ ( ' , ) ( ') '] = = r t r t drdr p r p r dp ( , ) ( ' , ) ' ( ) ( ') = − (r,t) (r' ,t)drdr' (r r') = = (r,t) (r,t)dr 1 由此我们也可以看出把平面波归一化为 函数的目的。 其中使用了 关系式 − = − (r) p (r')dp (r r') p c p t p r r t dr ( , ) = ( )( , ) −
c(,1)与亚(,)具有类似的物理含义 dW(,t)=Y(,D)| 时刻粒出现也点附 d体积元内的几率; dW(,t)=c(,t)2而 时刻粒子出现在动焉点附近 体积元内的几率
体积元内的几率； 时刻粒子出现在点附近 dr t r dW r t r t dr → = 2 ( , ) | ( , )| c(r,t) 与 (r,t) 具有类似的物理含义 体积元内的几率。 时刻粒子出现在动量点附近 dp t p dW p t c r t dp → = 2 ( , ) | ( , )|
§3力学量的平均值和算符的引进 (一)力学量平均值 (1)坐标平均值 (2)动量平均值 (二)力学量算符 (1)动量算符 (2)动能算符 (3)角动量算符 (4) Hamilton算符
§3 力学量的平均值和算符的引进 • （一）力学量平均值 ⚫ （1）坐标平均值 ⚫ （2）动量平均值 ⚫ （二）力学量算符 ⚫ （1）动量算符 ⚫ （2）动能算符 ⚫ （3）角动量算符 ⚫ （4）Hamilton 算符