(-)力学量平均值 在统计物理中知道: ●当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理 量出现的各种可能值乘上相应的几率求和;当可能值 为连续取值时:一个物理量出现的各种可能值乘上相 应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义,我们 马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维 情况,然后再推广至三维
（一） 力学量平均值 在统计物理中知道： ⚫当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理 量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值 为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相 应的几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，我们 马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维 情况，然后再推广至三维
(1)坐标平均值 为简单计,剩去时间t变量(或者说,先不考虑随时间的变化) 设ψ()是归-化浪数,p(×)|2是粒子出现在x点的几率密度 则 x=<x>=x|Y(x)12dx 对三维情况,设ψ()是归一化波函数,四()是粒子出现在r 点的几率密度,则x的平均值为 x=x>=』x平()2dz (2)动量平均值 一维情况:令ψ(×)是归-化波函 数,相应动量表象浪函数为 C(Pr (2mh) w/ Y(x)exp(ipx/n)dx C(Px)→粒子动量为的几率密度,则 n=<P=>=」p、1c(p)
（1）坐标平均值 − x = x = x x dx 2 | ( )| x = x = x r d 2 | ( )| 为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度， 则 对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为 （2）动量平均值 一维情况：令ψ(x)是归一化波函 数，相应动量表象波函数为 x x x x x x x x x p p p c p dp c p p c p x i p x dx 2 2 1/ 2 | ( )| | ( )| ( )exp( / ) (2 ) 1 ( ) − − = = → = − 粒子动量为 的几率密度，则
(二)力学量算符 (1)动量算符 既然ψ(x)是归一化波函数,相应动量表象波 函数为c 对应,相互等价的描述粒子 的同一状态,那末动量的平均值也应可以在坐 标表象用ψ(x)表示出来。但是ψ(x)不含p变量 为了能由ψ()来确定动量平均值,动量p必须 改造成只含自变量x的形式,这种形式称为动 量p的算符形式,记为 p 简言之,由于量子力学和经典力学完全不同,它是用浪函数 描写状态,所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符 形式(称为第一次量孑化)
既然ψ(x) 是归一化波函数，相应动量表象波 函数为c(px ) 一 一 对应，相互等价的描述粒子 的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐 标表象用ψ(x)表示出来。但是ψ(x)不含px变量， 为了能由ψ(x)来确定动量平均值，动量 px必须 改造成只含自变量 x 的形式，这种形式称为动 量 px的算符形式，记为 （二）力学量算符 • 简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数 描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符 形式（称为第一次量子化）。 x p ˆ （1）动量算符
一维情况: Pr =<pr> x|c(Dx)2中 c(.cpr dp P3 xe 2Th Y"(x)lebp、C(P2)d4 2Th (x)(-i Px )ebc(p)dψ 2Th dx Pxx dx平“(x)(一i) en c(p dp dx"√2m ∫(xi4)P(x)=∫甲(x.(x
一维情况： x x x x x x x px dpx p p p | c( p )| dp c ( p ) p c( ) 2 − = = = x x x p x i x e dx p c p dp x ( ) ( ) 2 1 = x x x p x i x e p c p dxdp x ( ) ( ) 2 1 = x x p x i e c p dxdp dx d x i x ( )( ) ( ) 2 1 = − ( ) ] 2 1 ( )( )[ x x p x i e c p dp dx d dx x i x = − x dx x p x dx dx d x i x = ( )(− )( ) = ( ) ˆ ( )
比较上面二式得两点结论 体系状态用坐标表象中的波函数ψ(r)描写时,坐 标ⅹ的算符就是其自身,即 说明力学量在自身表象中的算符形式最简单 而动量p在坐标表象(非自身表象)中的形式必 须改造成动量算符飛式 i 三维情况: Oki O p=-ihJi a 十k]=-一边 Oz
比较上面二式得两点结论： = − + + = − = i z k y j x p i i r r [ ] ˆ ˆ x ˆ = x 体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描写时，坐 标 x 的算符就是其自身，即 说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。 dx d p i ˆ x = − 而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必 须改造成动量算符形式： 三维情况：