(3)归一化波函数 ψ(r,t)和c(r,t) 所描写状态 的相对几率是相同的,这里的c是常数 因为在t时刻,空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对 几率之比是: cp(, pGr, CY(n2,)(,D) 可见,(r,t)和cψ(r,t)描述的是同一几率波,所以浪函 数有一常数因子不定性 由于粒子在全空间出现的几率等于一,所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例,而不取决于强度的绝对大 小,因而,将浪函数乘上一个常数后,所描写的粒子状态不变,即 这与经典波不同。经奥波汊幅增大“倍(原来的2倍),则相应的 浪动能量将为原来的4倍,因而代表完全不同的波动状态。经典浪无 归一化问题
（3）归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的 波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无 归一化问题。 Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 所描写状态 的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对 几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态 2 2 1 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) r t r t C r t C r t = 可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波，所以波函 数有一常数因子不定性
归一化常数 ·若ψ(r,t)没有归一化, ∫(r,t)}2dτ=A(A是大于零的常数), 则有 ∫|(A)42(r,t)|2dτ=1 注意:对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性 若ψ(r,t)是归一化波函数,那末 expo]p (r,t)也是归一化波函数(其中o是实数),与前者 描述同一几率波。 也就是说,(A1(r,t)是归一化的浪函数 与ψ(r,t)描写同一几率浪,(A)12称为归一化因 子
归一化常数 ⚫ 若 Ψ (r , t ) 没有归一化， ∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数）， 则有 ∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )| 2 dτ= 1 也就是说，(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数， 与Ψ (r , t )描写同一几率波，(A)-1/2 称为归一化因 子。 注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末， exp{iα}Ψ (r , t ) 也是归一化波函数（其中α是实数），与前者 描述同一几率波
(4)平面波归一化 I Dirac函数定义:ax)-1x 6(x-x0)d=a(x-x)x=1(E> 或等价的表示为:对在x=x0邻域 6(x-x0) 连续的任何函数f(x)有: f(x)6(x-x)=∫(x0) δ函数亦可写成 Fourier积分形式: ik(x-xo) 令k=p2/,dk=dp/,则 8(x-x0 2兀 厂a pr(x-xo) 性质:6(-x)=6(x) 8(x-x0)-2m 作代换:p冷x,p冷x,则 6(x)=,S(x) f(x)6(x-x0)=f(x)5(x-x)6(x-p)=2m
（4）平面波归一化 I Dirac —函数 定义： = − = 0 0 0 0 ( ) x x x x x x ( ) ( ) 1 ( 0) 0 0 0 0 − = − = − + − x x dx x x dx x x 或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有： ( ) ( ) ( ) 0 0 f x x − x dx = f x − —函数 亦可写成 Fourier 积分形式： ( ) 0 0 2 1 ( ) i k x x x x dk e − − − = 令 k=px/, dk= dpx/, 则 x p x x i x x e dp x ( ) 0 0 2 1 ( ) − − − = 性质： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x0 x x0 f x x − x = f − ( ) | | 1 ( ) x a ax = (−x) = (x) 0 x0 x ( ) x − x0 p p e dx p x p x p p x i x x x x x x ( ) 0 2 1 ( ) − − − = 作代换： ， ， 则
II平面浪归一化 E 平,(,)=A"=()e写成分量邢式 Φn()=Ae=,(x)@,(y),(z) t=0时的平面波 考虑一维积分「(x,D)(x,)=e的,An A E t h 2u 2A S(Pr-Py= x)Φ,(x)dx Px bzh J-o ∫。:(x)0n()h=4me Aw=412mD(P-p、)=8n-p) 若取A122m=1,则A1=[2mn12,于是①n(x) Pxx 2Th 平n(x,t)平,(x,D h22 Px P (x-px)=8(D4-p) 平面波可归一化为6(p-p)函数f(x)6(x-xn)=f(x)6(x-xn)
II 平面波 归一化 Et i p p r Et i p r t Ae r e • − − ( , ) = = ( ) [ ] 写成分量形式 [ ] 3 [ ] 2 [ ] 1 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) p z i p y i p x i p p p p r i p x y z x y z A e A e A e r Ae x y z = = = • t=0 时的平面波 ( , ) ( , ) ( ) ] 2 2 [ * 2 2 x x t i p p p x t p x t dx e p p x x x x = − − − 考虑一维积分 e x x dx x x x x p p E E t i ( ) ( ) * [ ] = − − e x x dx x x x x p p t i p p ( ) ( ) * ] 2 2 [ 2 2 = − − x x dx px px ( ) ( ) * − 2 ( ) 2 A1 px px = − 若取 A1 2 2 = 1，则 A1= [2] -1/2 , 于是 p x i p x x x e 2 1 ( ) = ( ) x x 平面波可归一化为 p − p 函数 ( ) px px = − x t x t dx px px ( , ) ( , ) * − ( ) x x = p − p A e dx p p x i x x [ ] 2 1 − − = p p e dx p p x i x x x x ( ) 2 1 ( ) − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x0 x x0 f x x − x = f −
三维倩况:∫9G,G= =D(P-2)5(p-p)(P2 6(p-p) 平n(,t)Yn(,D)dz= IE-EIt ro Φn(f)Φ,()dl -EEt A=A14243= 6(p-p)=8(-p) 2m32 1 3/2 (r)e 其中④ [2rh 3/2 注意:这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度,依 然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同
三维情况： Et i p p r Et i p r t e r e • − − = = ( ) [2 ] 1 ( , ) [ ] 3/ 2 r t r t d e r r d p p E E t i p p ( , ) ( , ) ( ) ( ) * [ ] * = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * p p p p p p p p r r d x x y y z z p p = − = − − − = − 1 2 3 3/ 2 [2 ] 1 A = A A A = ( ) ( ) [ ] e p p p p E E t i = − = − − 其中 [ ] 3/ 2 [2 ] 1 ( ) p r i p r e • = 注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依 然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同