1988年全国青年力学竞赛试题及解答 说明： 1.全部解答将在本刊1988年四、五、六期内登出，即第四期登理论力学部分，第五期登材朴力 学部分，第六期登弹性力学和流体力学部分。 2.1988年四、五、六期的小问题栏箭停. 一、理论力学部分 S 第1,2,3,10题为填充题，只要求写结果，不要求 写解题过程。其他各题要求解题过程， 1.图1所示平衡系统中，物体【，Ⅱ，Ⅲ，V之间 K 分别通过光滑较链4，B,G连接。O,E为固定支座， D,P,G,H处为杆约束.尺寸如图，|a=1.5。物体 Ⅱ受大小为m的力偶作用。假定全部力均在图示平面 内，且不计所有构件的自重，杆0G的内力不为零，则 品 杆O,H与杆O,H所受内力之比为（要求计算 三位有效数字)。（邬大国，四川省城乡建设干部 图2 学校) 所以， /S,tgp -(CH -KT)/CT 24 -a-61)(径0）-0.50. 0 即杆O,H与O,H的内力之比为0,500， 2,V形槽中放置一个半径为？的匀质圆柱，槽边 9 与水平夹角为✉（图3），接触处的摩擦系数肚一gP, 國柱重G,设转动圆柱所需的最小力网矩为L。,则当 0 G p。<时，La=一；当≥a时，。= (吕茂烈，西北工业大学) 0 图1(0，为光滑饺链) 解：从物体1着手，由二力平衡条件，【受力在 0A方向上. N 以Ⅱ为对象，在4点受力Sa沿0方向。Ⅱ受 两个力和一个力偶的作用，平衡时B点受力5“5， 方向沿■。 以亚为对象，受五个力作用，但由于8，D,B,P 四点受力均汇交于B,故C点的力5c沿CB方向。 以W为对象，受三个力作用。因杆O,G的内力 图.3 g不为零.由三力平衡条件，5o和5c交于x点，5 解：临界状态时平衡方程为 过x点.作口1GC(图2功.由几何关系， EF.0:H(N,N,)coa-(Ni-N)gin a03 tga-CF/PE -1/2, z现，=0：以N,*y)恤a+(WtN,94 r+KT ctga●GCb,T■/3. -G0
a=0:风N,+N,)y-L。=0. 解：设4D,0,C杆的角速度分别为，气，角 由此可得， 加速度分别为，8，方向如图6所示。由几何关系， M-时（品女t品）》 此时AB=AD/2=10cm,∠A0=30°，0，D- 10/√3cm Ma可(-》 人“+-z8。m 由上面可知，当ga>4,即a>。时，N,>0;而当 &≤Pa时，N,=0,此时L。=Gr sin a。所以有 _Gri血2p.当.<a时 Le- 2cota Grsina 当≥a时， 注意，并非摩擦系数“越大(。越大)，L。就越 大。当摩擦角P。小于a时，L。保持常值.L。与p。 的关系如图4所示. 1/(2co4a) 图6 取AD为研究对象，显然在图示位量有·a一 故有 0-a-4-0.0i-50cm, 1=0.00. 3.曲柄摇杆机构（图5）冲，曲柄04长5cm,以匀 以0，C杆为动参考系（图6@），o=,+”,雕 角速度■10rade转动，希动连杆AD及摇杆O,C 有 运动，AD=20cm,B为AD的中点。在图5所示 ,=Peeo60°=25cm/, 位置时，04与水平线垂直，0，C与水平线成60°角. -pim60°-m,0D-25V/万cm, 则在此明时超杆O,C的角速度为 rad/小，角加 01=7,50cm/. 速度为 rad/:;滑块D的速度大小为 cm/ 以A为基点，则B点的加速度为 ,加速度大小为 一cm/:(要求计算三位有效数 as-a+x AB-@AB. 字)。（韩庆大，东北工学院） 上式在竖直方向投影： 0=-0M+8,ABco430° 由此得，-100/√了radr-57.7rd/r 分别以4为基点和0c为动参考系，D点加速度 表达式为： ap=aA+×D-oAD=a,+高，+ag 将上式在O,C的垂直方向投影， -w0icas60°+8，ADco430° =-,0,D+2w,, 由此可算得 6,=65.0ad/,o=764cm/. ,设一动点在平面内运动，其切向和法向加速度 都是非零的常量，求动点的运动轨迹。（王触渠，更 津师范大学物理景) ·57
解：由已知条件， 静止，今小虫突然以相对速度“（常量）沿杆向B来动 4名名如 (图).试写出杆与地面夹角：所满足的微分方程及 初条件。（或斐，救金生，北京大学) 台碧 G1 设青一，(c,),则 名片名-台北 积分上式，得一的，从而有 -0-系w0, 又， -nag-名x.a, 图8 解：(1)初始时为冲击过程（图9）. y-m0-a新em00 ()设，0,1，年0，水平方向和竖直方向的漏 积分得，一 量方程为 -1)+血)+n e ’。0+可（2t9-ea0)+n 适当速取坐标系，总可使，一，■0。选取极坐 标系（图7），极角p一日一4，极轴 ,-√+7-，w+了 - tga-tg(8-p)-- 所以。一常数 图 +一常量， 10 就有 :. 即动点的轨遗为对数爆线。 ≥5.员量为细的杆48斜靠在竖直维上，A绮有一 小虫，其质量也为m。撞和地面都是光清的。原系线 。物
其中1为杆长，相对于“固定点”（与4端重合的点）A 设系统质心：的坐标为()（图9），则 的动量矩方程 P 2mc N-2mg -2mye 12 -N(lcosa-)P(Itina-e) -《+业- 运动学关系， -,+7o抽a-0 +[侣+侣-“门} ，-aa-0. 系.-u+2coa, 2 联立求解上述五个方程，得 -（-)ma-(层-》m 的m3 in acosa/[(1+3coe'a)】, =3usin'acosa/[2(1 +3cos'a)], 由此可得运动微分方程为 =3usin acos'a/[2(1 3cos'a)]3 en-2cara+(侵+cor a)p]a 1.musin a(3cos'a -2)/[2(1 3cos'a)], +(2ut-Ia sin acosa l4=mcosc(9co2a-1)/八2(1+30o3a)】. +2(u-1 cos"）wd 此时应有1，≥0，，≥0，故初始时应有 aso胥： +(u-是）aa-0 初条件为 (b)1,=0,1,年0（图9b),与上面相似，可列出 三个动力学方程和两个运动学方程： --<ca√f, 4--m,+m(caa-+子a恤a l-3 ain a cos a4/[(1+3cor气)】. 0-a,+w(-曲a+,+之aca小 ()初始时>√写。可用 P=2mi3 一2mR一2m成。（此方程可用来检查B端是否 碰地) -专oaa-0, m,a-[g(au-y+立} 与-子cw20. 2wl co a. 4 由前四个方程可解得： w=6usin acosa/[1(8 -3cos'a)], 最后得运动微分方程， 3usin'acosa/(8-3cos'a), [n(1+e)-eawa+合6+3aa]小a :=usina(4-3cos'a)/(8-3cos'a), I,-5mu cos a/(8-3cos'a). +号(2m+y恤acoa 考虑到第五个方程后，可得初始时应有 [2ur(1 sin'a)-Icos'a ]ud =0. >a√写， 初条件为 (c)其他情形. a-a>r√写， -山-0，当且仅当0-受时才会发生，这已 l=6usin as cosae/[K(8 -3cos ae)]. 包含在()中. 6.一质量为M,半径为6的空心薄圆柱O,在光 1,车0,1，=0，因>0，且沿AB方向，这种情 滑水平面上运动，另一质量为m,半径为(<b)的空 况是不可能发生的。 心薄圆柱O,在圆柱O,的内表面作纯激动（图10）， (2)根据前面的分析，可分两种情形讨论。 令日角为O,O,与向下竖直线的夹角。设初始时静止； 0初始时a<um√胥. 且9一月，试写出运动过程中日与日的关系式。（程 稼夫，中国科枝大学) +594
+告(a+e+a6-d +m(6-a8+m[b-(b-aoa9] 10 -常量=m[6-(B一os] 将，中的表达式代人即得 -·品(e- 7 7,若在地球表面上4，B两点间打通一条光滑隧 图16 道，质点m从4点由静止开始，借地心引力落人隧道. 解：设0(x,b,0(,),则 在地球内部地心引力取F一一受，：为地球表面 1=x,+(b-c)sin0, 的重力加速度，R为地球半径，不计地球自转的影响。 %▣b-(6-aos9, ()当4A,B间隧道为直线时（图12），求质点从 动能 T=吉M+之Mb A到B的时间. ()当隧道为ACB折线时，求A到B的最短时 +之（纠+功+之mn 间及最优折线。 (©)求A到B的最短时间及最优隧道的形状. 势能 V=m21 纯滚动条件：（日+p)=(日+）. (吕茂烈，西北工业大学) 系统有三个自由度，取广义坐标为x,8,伞（图11）. 系统的Lagrange函数为 L-之(w+m)用+nm(b-0eat0 +宁w+m沙+5-0 +m(b-a)a-mg[b-(8-a)cos0]. 图12 解：()设0，为坐标原点，0，B为￥轴，质点 0,点x(图13)，则R=一m/R一m,解得 00 -m√ 0 运动周期T-2所，故从4到B的时间为√图， 图11 约42,2分钟。 由Lagrange方程，考虑初条件，‘▣0时，文，=6一 p=0,日=B,得 8L 所， -(M+m)共，+m(5-a)0cos0-常量=0， 的=(4+mp+m6(8-)9-常量=0. OL 所以 --n十6-)ico明 图13 净-平n,20 6 ()以O,为坐标原点，O,B为x轴，质点距A 显然总机械脂守恒，“十 点为.利用()的结果及对称性，在4C段有 r+p-2a+如g+n(6-gcog -受m√受， 60