4.2热膨胀 421非简诸振动 1.简谐近似 简谐近似:当原子离开其平衡位置发生位移时,它受 到的相邻原子作用力与该原子的位移成正比 设在平衡位置时,两个原子间的互作用势能是:U(a); 产生相对位移δ后,两个原子间的互作用势能是:U(a+8 将U(a+δ)在平衡位置附近用泰勒级数展开如下:
简谐近似：当原子离开其平衡位置发生位移时，它受 到的相邻原子作用力与该原子的位移成正比。 4.2.1 非简谐振动 1. 简谐近似 4.2 热膨胀 设在平衡位置时，两个原子间的互作用势能是：U(a); 产生相对位移后，两个原子间的互作用势能是：U(a+ ） 将U(a+ ）在平衡位置附近用泰勒级数展开如下：
U(a+8)=U(a)+(dU/dr)28+12(d2U/dr2)282+ 常数0 当δ很小(振动很微弱), 势能展开式中可只保留到8 项,则恢复力为 F=-dU/d8=-(d2U/dr2)
u(r) r r f(r) a rm U(a+ ）=U(a)+(dU/dr)a +1/2(d2U/dr2) a 2+··· 常数 0 当很小（振动很微弱）， 势能展开式中可只保留到2 项，则恢复力为 F =-dU/d=-(d2U/dr2) a
结论 晶格的原子振动可描述为一系列线性独立 的谐振子。 相应的振子之间不发生作用,因而不发生 能量交换。 在晶体中某种声子一且被激发出来,它的 数目就一直保持不变,它既不能把能量传 递给其他频率的声子,也不能使自己处于 热平衡分布
晶格的原子振动可描述为一系列线性独立 的谐振子。 相应的振子之间不发生作用，因而不发生 能量交换。 在晶体中某种声子一旦被激发出来，它的 数目就一直保持不变，它既不能把能量传 递给其他频率的声子，也不能使自己处于 热平衡分布。 结 论
2.非简谐振动 在原子位移较小时,δ高次项与δ2比较起来为一小量, 可把这些高次项看成徼扰项。 谐振子相互间要发生作用-声子间将相互交换能量。 如果开始时只存在某种频率的声子,由于声子间的互 作用,这种频率的声子转换成另一种频率的声子,即 种频率的声子要垠灭,另一种频率的声子会产生
在原子位移较小时， 高次项与2比较起来为一小量， 可把这些高次项看成微扰项。 谐振子相互间要发生作用------声子间将相互交换能量。 如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的互 作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子，即 一种频率的声子要垠灭，另一种频率的声子会产生。 2. 非简谐振动
结果:经过一定的驰豫时间后,各种声子的分布达到 平衡,即热平衡。 例如:两个声子相互作用产生第三个声子。 个频率为920GH纵声子束,和与之相平行的频 率为918GHz另一纵声子束在晶体中相互作用,产生 频率为920+918=1838GHz的第三个纵声子束。 声子相互作用的物理过程简述如下: 个声子的存在引起周期性弹性应变,周期性弹性应 变通过非诸相互作用对晶体的弹性常数产生空间和时 间的调制,第二个声子感受到这种弹性常数的调制, 受到散射,产生第三个声子
结果：经过一定的驰豫时间后，各种声子的分布达到 平衡，即热平衡。 例如：两个声子相互作用产生第三个声子。 一个频率为9.20GHz的纵声子束，和与之相平行的频 率为9.18GHz另一纵声子束在晶体中相互作用，产生 频率为9.20+ 9.18= 18.38GHz的第三个纵声子束。 声子相互作用的物理过程简述如下： 一个声子的存在引起周期性弹性应变，周期性弹性应 变通过非谐相互作用对晶体的弹性常数产生空间和时 间的调制，第二个声子感受到这种弹性常数的调制， 受到散射，产生第三个声子