39)则可写出所需的动态方程为 0)1x:)70 X2 0-20x2+1 =〔-231)2 从以上的讨论可知,根据系统的传递函数求系统的动态方 程主要有两种方法,一种是由传递函数利用公式直接写出动态 方程,我们讲了其中常用的能控标准形与能观测标准形两种, 另一种方法是把传递函数展成部分分式,利用典型变量作为状 态变量写出动态方程,这时的系数矩阵必为对角阵或若当标准 阵。前一种方法计算量小,是其优点。后一种方法需要计算传 递函数的极点以及展开式的系数,计算量大是其缺点.但是 它能清楚地揭示出系统的性质,如特征值,是其优点。至于究 竞应该用那种标准形,往往得祝具体情况而定。 在结束本节之前,有两个问题需要说明, (1)当传递函数的分子分母有相同的次数(m=时, 要写它对应的状态方程,应先把传递函数化简,使分子的次数 变为(-1),然后使用上述的方法,并在输出方程上加一项 a#(),其中a是包含在传递函数里的常数项。举例說明如 下 例5系统的传递函数为 T()= 43+9-2+145+23 22+42+6:+10 试求它的能控标准形 解将T()约简,得 T()= Y() 2 r2+2+3 翼() 2:3+4r2+65+10 28 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
与以前讲过的情况比较,这里的传递函数多了一个常数项。用 (乘上式的两端,有 Y()=2()+ r2+25+3 2+452+65+10 由此看出,出函数y()是由两部分组成的,一是2(1),一是 2+2+3 2J3+42+6:+10 k(r)所对应的原函数。换句话说,只要后者 所对应的状态唯一地确定了,y()也就唯一地确定了。因此, 我们只要根据传递函数的严格真分式部分 2+2f+3 23+42+65+10 写出状态方程,然后在输出方程上加一项2x()就行了,这样 就得到系统的状态方程为(见本节例1) 010) 0 1x21+1·0」靠 X 输出方程为 x2+2g X (2)在本节中讨论的问题,即给出系统的传递函教去找 系统的动态方程,使其对应的传递函数与给出的相等,这叫做 实现问题,因为有了动态方程之后,我们就能使用积分器具体 地把系统“实现”出来。自然产生一个问题;实现一个具体的 系鸵究竞需要多少个积分器,又最少箭要多少个积分器?或者 说,动态方程的阶数最低是多少?在所有的可能实现中,其阶 数最低的叫最小实现.如果一个系统其运动方程是一个阶微 分方程,则其最小实现的阶数为群,在本节中讨论的四种实现 都属于最小实现,由此可知,一个系统的最小实现也是无穷多 2 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
的,而要一般地解决实现问题当然就更复杂 下一节我们就要讨论本节的反问题,即给出系统的动态方 程求系统的传递函数 第四节由状态方程求传递函数 大家知道,一个线性定常系统既可用传递函数描述,也可 用动态方程描述,两者之间必然有内在的联系,上一节讨论了 从传递函数求动态方程,现在我们要讨论从动态方程求传递函 数.。为此,下面先举一个例子 例1系统的动态方程为 15-x1-x2+2z 冷2=3X1一2x2+解 y=X1+4x2 求系统的传递函数。 解对动态方程取拉氏变换,可得 X()-x1(0)=-X1()-X2()+2k sX2()-x2(0)=3X,()-2x2()+( Y()=X1()÷4X2(t) 根据传递函数的定义,初始条件应为零,即x1()=x2(0)=0, 将此条件代入上述方程,经过简单整理,便得 (+1)X1(5)+X2()=2(9 3x1()+(+2)2()=a() Y()=X1()+4X2() 下一步应该是从这三个方程中消去X1()和X2(),方法很多 但以使用矩阵较为简捷。把上面两个状态方程和一个输出方程 写成两个矩阵方程: +1·1)x1( (4-1) -3:+2X2()(1 30 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
Y()=(14)/( 4-2) 、2( 从方程(4-1)得 X(r)〔5+11 (5 M2() 3了+2 把方程(4-3)代入(4一2),得 +11 2 Y()=[14〕 (x) 3s+2」(1 如果一开始就使用矩阵,计算的步骤还能精简,将系统的 状态方程和输出方程分别写成矩阵形式: 1)了x1 3-2x2)1 对上面的方程取拉氏变换,并考虑到初始条件为零,得 x1() (5)(4-5) x2() X2()」(1 X1(5) X2() 因为 s8()50)X1()「10X() X:()(0sX2()(01J(X2x) 从方程(4-5)得 s01.-1-1)|k1().「2 .3-2八x2()1 即 +11.1rX1()「2 35+2x2()(1 31 14;· DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
或 1()(5+11 a(s K2() 35+2J!1 把上式代入方程(4-6),最后得 +11 Y()=〔14〕 a()(4-7 35+2(1 这和方程(4-4)完全一样,因为 J+2-1 -35+2 52+3+5 将它代入方程(4一7)便得系统的传递函数为 Y() 〔14〕 +2-1?2 (5) 2+3s+ 35+1J1 〔I4〕 2(+2)-1 +35+5 6+($+1) -m212g2J+3+4(+7) 35+ 65+31 +35+ 把这个例题的解法用于一般系统的动态方程,就得到计算 系统传递函数的公式 4…1求传递函数的公式 现在研究单输入单输出的系统,设其动态方程为 X=AX Bx y=CX+ Du (4-9) 式中X()是m维状态向量,#()和y()分别是输入和输出函数, A是m的系数矩阵,B是X1的控制矩阵,C是1×m的输出 矩阵,D是1×1的传递矩阵,在这里实际上是个数量 在求系统的传递函数时,根据定义,我们总假设相应变量 的初始条件为零,如无必要,今后不再说明 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn