对方程(4一8)和(4-9)取拉氏变换,得到 X()=AX()+Bx() (4-10) Y()=CrX(5)+D(5) (4-11) 从方程(4-10)有 X()-AX()=(-AX()=Bk( 两边乘以逆矩阵〔t-4)-,得 x()=(I-A)-1Br(5) (4-12) 其中Ⅰ代表z阶单位矩阵,把式(4-12)代入方程(4-11) 可得 Y()=CT[sI-A)-Bu()+ Du 由此得计算系统传递函数的公式: To= F( C[sI-A)-B+D (4-13) ( 当D=0时,得常用的公式: T(s=C[rI-A]-B (4-14) 例2已知系统的动态方程为 0/x X: 求系统的传递函数(参看第三节例1)。 解在此例中 0) 0) D=0 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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由此可算出 〔-A 305 DISI-A) r2+25+35+21 55(5+2)s s3+252+354 5-(3s+5) 其中D(-A代表矩阵!-A〕的行列式 a(-A代表矩阵I-A〕的伴随矩阵。 把以上等式代入公式(4-14),得系统传递函数 fs+25+3s+2 0 5f(+2)510 y3+22+3+5 55-35-552)、1 2 y3+2y2-3+5 2+2+3 2y3+452+65+ 在计算过程中发现,由于矩阵B=〔001),只要鲜出逆 矩阵Ⅰ-A〕的最后一列就够了,这样可节省计算量 42能控标准形与能观满标准形的关系 在上一节我们讲过,根据系统的传递函数既可把系统的动 态方程表为能控标准形,又可表为能观测标准形。不言而喻, 这两种标准形之间必有关系。把两种标准形拿来一比较,就会 发现,能控标准形的系数矩阵A,控制矩阵B,输出矩阵C2分 别与能观测标准形的系数矩阵A,输出矩阵C,控制矩阵B互 为转置,即 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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B=C,即B=Co (4-15) (Cz)=B,即Cc=Bo 事实上,利用计算传递函数的公式(4-14)可以证明, 任何两组动态方程,它们之间如存在由等式(4-15)表明的 关系,则它们有相同的传递函数表达式。现在来证明这一论 断 根据求转置矩阵的运算法则,有 (ABC)T=CTBTAT 〔(A+B)“)=(Ar+Br)- 利用上述法则,求方程(4-14)两端的转置,由于方程(4一 14)两端都是的数量函数,所以它的转置同自己本身相等 因此有 Cr(sI-AJ"B=(CT[]-B)=BTCsI-AT-C 上式所表明的意义是,如果两组动态方程它们的系数矩阵互为 转置,输出矩阵与控制矩阵互为转置,则它们具有相同的传递 函数, 例3在例2中,已给出 现来求其相应矩阵分别为 00 =A=|10-3,B=C=1, C=B=〔001〕 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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的动态方程所代表献传递函数 解将矩阵A、B0、C代入公式(4-14),得 505 T()=〔0 0-15+2/1 252÷35+5 +252+35+5 2+3 23+42+65+ 这同例2算出的结果完全一样。不难想到,能控标准形和能观 测标准形与对角标准形或若当标准形也是可以互相变换的,在 这里就不详述了, 第五节状态变量图 在古典控制理论里,多使用传递函数,常以方块图来表示 系统各环节之间的关系。在现代控制理论里,多使月状态变 量,常以状态变量图来表示系统各状态变量之间的关系,状态 变量图又称为模拟机排题图.这种图为系统提供了一种物理图 象,有助于加深对状态空间概念的理解 86 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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51作图法 张状态变量图是由积分器、求和器和放大器三种元件组 成的。分别概述如下 积分器它的功能是将输入函数进行积分,常用的符号如 图1一3所示。 在模拟一个实际系统时,一般不用微分器,因为高频噪音 经过微分后振幅大大增强,会造成严重的失真。 求和器它的功能是求出输入的代数和,常用的符号如图 1-4所示,图上符号表示的关系式为 x1-x,= 放大器它的功能是将输入函数放大指定的倍数,常用的 符号如图1-5所示。图上表示的关系式为 kx 利用上述三种元件就能表示状态变量间的各种关系。例如 图1一6就表示 ☆=-2X十 多3 图1-3 k 图1-5 图1-6 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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