在这种表达式中,状态方程的系数矩阵是对角矩阵,对角 线上各个元是它的特征值,也就是传递函数的极点值 例3给定系统的传递函数为 T() 25+1 +7r2+145+ 试求其动态方程,使系数矩阵为对角标准形 解把T()展成部分分式,可得 T(5) 25+1 + (r+1)(J+2)(5+4)s+15+2!+4 由此看出,51=-1,52=-2,,=-4,利用公式(3-23), 可求出 25+ (3+752+14s+8 25+1 2+1 32+14+14x 14+143 2J+1 2 3」2+14:+14 25+1 8+1 352+145+14|x-448-56+14 根据方程(3-28)和(3-29),得状态方程和输出方程分 别为 100;;x1(1 0-20:x2+11 00-4 137 23 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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34若当标准形 当传递函数有高阶极点时,即其分母有重根时,它的部分 分式展开式比(3-21)式复杂,要特别研究。为简单起 见,设只有一个重根,次数为r,至于有多个重根的情况,完 全可以照样处理 设T()的分母D()可分解为 D()(-51)(-+)…(-:) 我仍把头r个根取作重根,这并不失一般性,因为总可以先计 算完了重根,再计算单根,而在这种情况下,传递函数的部分 分式展开式为 (-5,)( Cr 3-30) 5-5 其中的系数t;按下式计算 (r=i) lim (5-51)T() (3-31) 其余的系数按公式(3-22)或(3-28)计算,根据传递函 数的定义,可得输出函数的拉氏变换 (5) z(5)(3-32) 在上式中分別置 X,(5) 51 x() 落(5 ="+1,r+2,…,n)(3-34) 2 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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则从(3-33)式有 X,() x(5)-51()=#() 两边取拉氏逆变换,并移项得 r-5x1 (3-35) 又 x,(r) ( R( (-)rtt(-5)(5-r) sX:()-5X()=X+() 两边取拉氏逆变换,并移项得 文;=5x;+x,+1(=1,2,…,-1) (3-36) 同理,从(3-34)中可推出 k=5x+1(=7+1,r+2,…,n)(3-37 将方程(3-35)、(3-36)和(3-37)合并起来,得系 统的状态方程为 0…000…0)(x 01…000 x f-I 000…05;0 f: L 005 f+l 000…000…5 25 等限日赛M·,口→ DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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将方程(3-33、(3-34)代入方程(3-32).两边取 拉氏逆变换,得输出方程为 (#)=1x1 r+1+…+6 (crq1r-…Cr+…,x (3-39) 在状态方程(3-38)中的系数矩阵称为若当标准形。其 特征是,除主对角线上的元素可取任意值及紧靠主对角线上的 元素可为1外,其余元素都等于0,当传递函数只有简单极点 时,状态方程的系数矩阵必为对角阵,当传递函数有高阶极点 时,系数矩阵必为若当标准阵。这种说法无论对于实数极点还 是复数极点都是成立的。关于若当标准形在下章第二节还要讨 论。 例4系统的传递函数为 T() 452+17+16 752÷165;12 26 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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试求其动态方程,使系数矩阵为若当标准形 解将『(5)的分母分解因式,然后展成部分分式,得出 T()= 4x2+175+16 (r+2)2(+3) (3-40) +2(5+2)s+3 利用公式(3-31)可算出 imn(s+2)27(3) 4r2+175+1 +3 m {(5+2)2T()} s→-24 im d i ∫42+17s+16 5+3 lir 45+5 +3 利用公式(3-22)可算出 im(s+3)T(5)=1 可以看出,计算1是比较麻烦的,介绍一个简单的算法 鉴于(3-40)是恒等式,为任何值时方程两边都相等,我 们用5乘方程(3-40)的两边,并求当→0时方程两边的 极限值,得 4=c1+ 1t=4c 因此在算出c=1后,就可求得1=4-1=.3 求出c1,C1、的值之后,利用方程(3-38)和(3→ DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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