X 00 00 E-1 B Cr=[b,bn-1…b…9 这就是系统动态方程的能控标准形.仔细观察一下(3-13) 式,就不难把一个系统的传递函数直接写成能控标准形, 例1给定系统的传递函数为 T()=- 2s÷3 2y3+4:2+6s+10 试写出它的能控标准形 解先把T()分母中的最高次项的系数变为1,为此用 2同除T(的分子和分母,得 ∫++ T() 5÷22+3 根据(3-13)式,直接得系统的能控标准形为 010￥xf0 0011x:+0 X DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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很容易发现,这里得到的结果和上节22的结果有相似之 处系数矩阵A是完全一样的,但是控制矩阵B和输出矩阵C 就各不相同了,又因那里的控制矩阵B÷00…01,所以般 不叫能控标准形 32能观测标准形 在讨论此一问题时,为一般化起见,我们设方程(3-1) 中的m=7-1,则设 T()。b;--2+… (3-14) ∫+a15"+…+a-:5+ 它所代表的是输入和输出函数都在零初始条件下的微分方程 4 =↓ =b1x"”+b2x2 +b,2+b (3-15) 在这里,建议读者复习一下上节2·2的能观测标准形,我 们在那里讲了关于选择状态变量的想法。根据类似的想法,并 结合现在输入函数有导数的情况,我们选择下列a个变量: =1 2 a,-y-bx”2-b3g3 N2=y+a1 a-2,y-b,n"3”-b2 (3-16) f+41,y-h K,=y 作为一组状态变量.对上面z个方程逐一求导,并利用方程 (3-15)(建议读者写出演算步骤),则得系统的状态方程为 ,+b,x z-尔-屏。-X十力- - ,X,-1“a1x十b 19 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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而输出方程为 其矩阵形式为 x 100 010 0 (3-1 b2 〔00…91 (3-20) 这就是系统动态方程的能观测标准形。读者可以把它与能控标 准形(3-12)、(3-13)比较一下,注意它们之间的联 系,这个问题以后我们还要讨论 例2给定系统的传递函数为 T(5) 7+3 352+2:+5 求它的能观测标准形 解若利用方程(3-19)和(3—20),并注意到b=0, DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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则得系统的能观测标准形为 " X 2 0-2X2+7 3 =〔001)x 3·3对角标准形 上面讲的两种标准形都是直接根据传递函数求动态方程 此外,把传递函数展成部分分式也是求动态方程常用的方法, 当传递函数只有简单极点时,或说它的分母只有单根时, 得到的动态方程其系数矩阵A是对角矩阵.现在就来讨论这种 情况。我们假设系统的传递函数为 T() N D(s 其分母D()只有单根,可以分解为 D()=(-51)(-s2)…(5-, 在此情况下,则T()可以展成如下的部分分式: T() (3-21) 其中 =lim(-5)T(),氵=1,2,…,n〈3-22) 55 即T()在相应极点;处的留数,或 D"( (3-23 根据传递函数的定义,可得输出函数y()的拉氏变换为 21 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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Y(s)=T()() (3-2) ∫-5; 在上式中,置 (3-25) 两边乘以(-得 sX,(s)-1X,()-a(3 对上式两边求拉氏逆变换,并设x,(0)=0,得 :-5X=4,2 或 ;=5x;+郄, 9 (-26) 现将(3-25)式代入(3-24)式,有 ∑x 对上式两边求拉氏逆变换,得 y()=2 3-27) =1 根据(3-26)和(3-27)两式,分别得状态方程和输出方 程为 0 3-28 y()=〔 (3-29) DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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