d1,=41y-12-41B "-以)-4 *=2 g=2 a1B4-# 把方程(2-22)和(2-23)中的z个方程一齐加起来,得 ,+4,x1+,32十4,=2十 十xn三yx)+1y1 2+a,1多+a,y-1n"-(1+41B (2+41B1+a1P) (-1+aB A-2 ,231+42-1P -(a;B,-t+a2-2+…+ar-1B1+a)(2-2) 将方程(2-20) ax-y+a,y bx+b,x(…-")十…、十b,安+b, 代入方程(2-24),并加以整理,则得 公,+4x1+ax2+a,-2x3+…41x,=(b-B) (-月,-a19+(b2-2-al,B1-a) +…+(b-(B,-;-41B,-2-…-a,-231-a1-B)金 (b,a1p3,-1-42P 131-a3)(2-25) 由此可以看出,若令上式右方除最后一项外,其余各项的系数 为零,则状态方程中不会出现()的导数,据此可解出: 月1=b-a1 2=b2-4B1-a231 23-a-A 这样一来,(2-21)中的群个状态变量的靠个待定常数就唯 地确定出来了,再将方程(2-25)中#()的系数简记为 β,连同(2-21)中的后面(-1)个方程一起,便得到系统 的状态方程 +B1 2=X十p2华 (2-27) DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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,1=x,÷B,- AX,"4x,-4.15 由(2-21)的第一个方程,得系统的输出方程为 y=x1+ (2-28) 写成矩阵形式,方程(2-2)、(2-28)分别为 Ⅹ=AX÷Bg (2-29) CX+D (2-30) 式中 010 X 2 「P Dd-Po 在这种表达式中,不论输入函数z(#)是否含有导数项,系 数矩阵A都是一样的,而()的导数项只会改变控制矩阵B的 各元 例4给定系统的方程为 y+4+2+”=立÷+3 其输出为y(),试写出系统的动态方程 解在本例中 a2=2,a3=1;b=0,b=1,b2=1,b2=3 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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利用公式(2-20)及的定义,可算出 月=b=0 F=b1-屏1B=1 =b2-a11-a24=1-4=-3 b3-41A2-a3-a3=3+12-2=13 把以上结果分别代入方程(2-27)和(2-28)便得系统的 动态方程为 :x3-3 x1-2x2-4x3+13 在简单情况下,比如方程右端只包含(t的一阶导数时, 直接由观察就可写出状态方程 例5给定系统的方程为 y+3y+5+2y=24+ 求它的状态方程 解将方程两边移项,写成 7-2-3”-y-2y+# (2-31) 由此看出,要消去()的导数项,可取如下的状态变量 x2= y-2 利用上述三个方程和方程(2-31),得状态方程为 x3+2n s=-3(-2n)-6n一x:-2A1 2x 需要注意,上述状态变量的选取方法并非唯一,还有其他 较简单的方法,在下一节里将要讲到。 15 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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第三节由传递函数求状态方程 单输入单输出的线性定常系统的传递函数一般是如下的有 理分式函数 T() N() (3-1) 它所对应的微分方程为 y”+a1y+…+a,-f+a,y +b, 初始条件为 y”(0)2y2(0)=…f(0)=y(0)=0 对于传递函数T()不包含零点(分子N()等于常数)的情 况,即方程(3-2)右端不包含输入函数a()的导数的情 况,我们在上节2·1中已经详细讨论过了,这里不再重复 对于一般的情况,在上节2·2中虽作过介绍,但还有进一步 研究的必要.以下我们要研究它的三种标准形式 31能控标准形 为方便起见,将(3-1)重写如下: bsm+b,;m-1+…+b。,J+b, T(s 因为T()含有零点,不易直接把它化为状态方程.解决这个 困难,办法之一是引入一个中间变量x1(),记其拉氏变换为 X(),则可将(3-3)改写成如下的形式 T() Y()X1() X1()n( DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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式中Y(5)和2()分别代表输出函数y()和输入函数(1)的拉氏 变换 x1() 和分别由下列方程给定: (5) b。-+b X1() (3-5) X1(5) (3-6) g() +a1+…+a,-1(5+a 大家知道,上列两式可用如下的两个微分方程表示,即 y()=b, +6,x (0)=…=X1(0) x1(0)=0 3—7 4X+日X1=寡 x(0) =x1(0)=0 现在取满足下列关系 1=x x2=x3 的厚个变量x、x2…、x作为一组状态变量,则方程(3一 7)和(3-8)分别变为 y(1)=b4x+b,x,+…+b-1x:+bx1(3-10) +4;x,+…+ 把上列两个方程和方程(3-9)结合起来就得到系统的状态 方程和输出方程分别为 X=AX+Bi CTX 其中 的带:”rR!: DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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