个代数方程 在对一个系绕进行分析时,箭要把状态方程和输出方程 同写出.这两个方程合起来称为系统的动态方程,或系统方 程 将上述结果合起来可以写出所述系统的动态方程为 Ⅹ=AX+B CTⅩ 式中 A CT=10…0〕 (2-12) 这种形式的动态方程,其系统矩阵A和控制矩阵B取 (2-12)的形式,常称为能控标准形.能控标准形对输出矩 阵C没有要求。之所以这样称呼的原因到第三章魷会清楚 例2设系统的运动方程为 a;+42+33+a,y=() (2-13) 其中x()是输入,y()是输出.试将它改写成能控标准形 解选相变量 x2=夕分 x3== 作为系统的状态变量,把它们代入方程(2-13)得 41x3+42x3“a1x2+4x1=#(#) 将上列各方程加以整理,则得 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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又输出方程为 写成矩阵形式,则系统的状态方程和输出方程分别为 X 〔100]x2 X 这就是系统动态方程的能控标准形。 2.能观测标准形 设系统的运动方程为 y”+…+a1-1+a,y=#() 输出为y().对上式两边取拉氏变换,再归并同类项,得 (+4:+…+a-15+a,)y()=k()+y(0)52-1+ (0)+a1y(0)2+…+:y?(0)+a1y“(0)+ an-:y(0)〕:+〔y"-"(0)+a1 0)÷… a,-1.y(0) 从上式可以看出,如果下列丌个数 y(0),(0)+a1y(0), y2(0)+a1y”(0)+…+4-:y”(0 =1] (0)+41y"=2(0) y(0 已知则对任何的输入函数()都可唯一地确定出输出函数 y(),这就启发我们可以选如下的#个变量 sIA, INdt.,relater DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprint,com,cn
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6+a,y 作为一组状态变量,而(2-14)所给出的r个数恰好是这n个 变量的初始值 实际上,利用所选的状态变量和原来给定的微分方程不难 推出系统的状态方程为 文=”"+41y…+…+a-1=-a”=-“x, y+21y+…+ x1-4,-1y=x1-“-:x f+a,j dx a,y 系统的输出方程为 方程(2-16)和(2-17)可以写成矩阵形式: Ⅹ=AX+B4 CIX (2-18) 其中 00 Cr=00…01 (2-19) 这种形式的动态方程,其中系数矩阵A和输出矩阵Cr取 (2-19)的形式,常称为能观测标准形。需要注意,能控标 准形的系数矩阵和控制矩阵与能观测标准形的系数矩阵和输出 矩阵正好是互为转置的, DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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例3设系统的运动方程为 歹+79+14+8=3 输出为y(),试写出它的能观测标准形 解选状态变量如下 x1=+7+14y 5+7 由此得状态方程 文=+7+14=3x-8=3-8 2=+7=x1-14”=x1-14: 2 又输出方程为 X 将上列方程写成矩阵形式,得 0-14 +0 X =〔001] 这就是系统动态方程的能观测标准形 实际上,根据能控标准形和能观测标准形的特殊结构,我 们不难把一个高阶常系数线性微分方程直接化为这两种形式。 关于这个问题在第三章还要讨论 22输入函数含有导数项的情况 设系统的运动方程为 -1 +a, b+b*-"+…+bx+b (2-20) DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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方程右端包含()的界阶导数代表着更一般的情况。这时如选 择%、、只、…y“"作为一组状态变量,得到的n个一阶微分 方程将是 1=X 义,=-,x1一4x2-…一41x,+bx”+b+…+b,# 在后一个方程中包含有输入函数的导数项,这是所不希望的 我们霜望状态方程中不包含输入函数的导数项,这样不但简 单,而且可以表为统一的形式,处理起来然方便得多,因 此,我们需要选择一组状态变量能够把状态方程中的输入函数 的导数项完全消去 现在选下列"个变量 y-Fou 2=1-B4=9-B-,z x3=x2-B24=-B4-4-2 (2-21) ,-1- y-1-4x“-1-x β,-4-B,- 作为一组状态变量,其中},月,…,A-是待定常数.下面我 们就来确定它们的值,使状态方程中不出现x()的导数项 对(2-2)中最后一个方程两边取导数,得 ,=y-月x"-1n =1 ,-22-B1-1(2-2) 分别用a,4,-、…,a1乘(2-21)中的第1、第2,…,第 z个方程,得 x1=4,y-4,Fu4 1-a,B3-4,-B1 a,-2x=4-2.-an-32-a1-2314-a1-232x(2-23) DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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