ks=f 式 m一质量(克) 5一—质量m离开平衡位置的位移(厘米) f——外力(达因) 更一弹簧刚度(达因/厘米) 选速度函数()与位置函数()作为系统的状态变量,可 将方程(1-1)化为两个一阶徽分方程 dt dv m Ef-t 这就是系统的状态方程.知道系统 在时刻与的状态(4)、(及t 的外力,系统的运动状态就唯 确定了。根据微分方程理论我们知 图1-1 道,对于一个二阶方程,它的初始 条件5()、()以及强迫函数f(4)一旦确定,它的解就完全确 定了 例2试确定图1—2的LC直流电路的状态变量与状态 方程 解根据克氏定律可得 R L C二 t:· DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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L+r C (1-2) 现在选i(x)和g(4)=()d作为状态变量,则由(1 2)可得 di R LC L 这就是系统的状态方程.在此例中,如果选i()和e= Cf:0)d作为状态变量,则系统的状态方程为 R 如果我们选(Li+Rt2)和id作为状态变量,并分别简记 为x1和x2,则我们得状态方程 六二# R 从上例可以看出,状态变量的选择不是唯一的,但对一个 具体系统而言,不论如何选择,状态变量的个数总是相等的 第二节化高阶微分方程为状态方程 在上节我们讲了两个例题,说明状态方程的求法,可以看 出,写状态方程的一般步骤是:根据实际系统的机理写出它的 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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运动方程;选择适当的状态变量,把运动方程化为关于状态变 量的一阶微分方程組,这个一阶微分方程组就是系统的状态方 程 现在考虑一个单变量的线性定常系统,它的运动方程是 个z阶的常系数线性微分方程 y"+41y-”+…+a,-1夕+a,y =bxm+bxm+…+bn-山+b 2-1) 其中代表输入函数,且≤,对于常见的实际物理系统,不 会有m>8的情况,因为当m>靠时,系统在阶跃函数的输入下 产生的输出将是单位脉冲函数,甚至是它的导数,而对于常见 的实际系统来说,这是不可能的 21输入函数不含有导数项的情况 这时系统的运动方程为 x)+41 1÷…+4,-1多+4,”= (2-2) 根据微分方程理论,如y(0),升(0),…,y(0)及珍0 时的输入2()已知,则系统未来的运动状态完全确定,这启 发我们能够取y(),(1),…,y"(1)这靠个变量作为系统的 一组状态变量,将这些变量相应记为 (2-3) M=y-1 由此看出,各个状态变量依次是变量y的各阶导数,满足此条 件的变量常称为相变量,现在我们采用相变量作为状态变量, 方程(2-2)可以写为 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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这就是系统的状态方程。现在把它改写成矩阵形式,采用矩阵 符号,记 则可将方程(2-4)写成矩阵微分方程 X=AX+B 其中矩阵A称为系统矩阵或系数矩阵,矩阵B称为控制矩阵。 在所论情况下,状态方程(2-6)中的系数矩阵A和控制矩 阵B取(2-5)的形式,代表一种标准形,称为相变量正则 形式,其中的矩阵A称为友矩阵。友矩阵的特点是,正好在主 对角线上方的元一律为1,在最下面一行的元可以取任意值, 其余的元都为0.这种形式的状态方程在控制理论中经常遇 到,举例说明如下, 例1设系统的方程为 +”+14+8”=3 (3-7) 试求系统的状态方程, 解选取状态变量 21=y DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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从方程(2-7)中解出最窩次导数项f,然后将y=为, 彡=x2,=x代入方程(2-7),并根据状态变量之间的 关系就可写出下列方程组 义1=x =-8x1-14x2-了x3+3 用矩阵表示为 (010)(x) 001x:1+01#(2-8 8-14-7x 或简写成 X= AX +. By 式中 x1 X A 以上的讨论并未涉及系统的输出.一般地说,系统的输出往往 是系统状态变量的某种组合.下面我们将把系统的状态方程与 输出方程结合起来研究,并着重论述以下的两种标准形式 1.能控标准形 设系统的运动方程为 y"+a1y-"+ (2-9) 式中4(t)为输入,而y()为输出.已经知道,采用相变量 (2一3)作为状态变量时,系统的状态方程可以写成相变量 正则形式(2-6),现在把输出y()通过状态变量表达出 来,并写成矩阵形式 y=CX (2-10) 式中Cr=(10…0)是一个1×n矩阵,这种把系统的输出与状态 变量联系起来的矩阵称为输出矩阵。系统的输出方程往往是一 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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