§3级数的收敛性 主要知识点:级数及其敛散性概念 正项级数敛散性的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法 交错级数的 Leibnitz判别法, Leibnitz型级数余项的性质。 般项级数收敛性的Abel、 Dilichlet判别法 1、设lm(nma)=1,试判断∑an的敛散性 解: 一,由此即知级数收敛 设a=p的O,讨论∑a的收敛性。 解:an=(1 pInn In(+t=t o(t),所以 e e 由此即知 p>1时级数收敛,0<P≤1时级数发散。 3、若正项级数∑a收敛,且e=an+e,则∑bn收敛。 解:bn=ln( In[l o(a-a,] 所以∑b收敛 4、设0<x<丌,xm=Sinx,,讨论∑x的敛散性。 解易知-V(参见51x与同阶因此P>2时∑收敛,P≤2 时∑b发散 5、讨论级数 (p>0)的敛散性。 解:设 b +(-1))° Vh),则:0<2时S条件收敛, ∑b绝对收敛。并且 c=a ( (-1)"pp(P+1)
§3 级数的收敛性 主要知识点：级数及其敛散性概念； 正项级数敛散性的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法。 交错级数的 Leibunitz 判别法，Leibunitz 型级数余项的性质。 一般项级数收敛性的 Abel 、Dilichlet 判别法。 1、 设 1 2 sin lim( ) 1 n n n n n a → = ，试判断 1 n n a = 的敛散性。 解： 2 sin 1 3 3 2 2 4 1 1 1 n n n a n n n = ，由此即知级数收敛。 2、 设 ln (1 ) ( 0) , n n p n a p n = − 讨论 n a 的收敛性。 解： ln 2 ln(1 ) 2 ln (1 ) , ln(1 ) ( ) 2 p n n n n n p n t a e t t t n − = − = + = − + ，所以 2 2 2 2 2 ln ln ln 1 [ ( ) ] ( ) 2 ln ln p n p n n n n n n p n p n p n n a e e e e n − − + − − − = = = ，由此即知 p p 1 0 1 时级数收敛， 时级数发散。 3、 若正项级数 n n n a a b n n n a e a e b + 收敛，且 ，则 收敛 = + 。 解： ln( ) ln[1 ( ) ] n a n n n n n n n n b e a a a a a a a = − − = + + − − − ，所以 n b 收敛。 4、 设 1 1 0 , sin n n = x x x + ，讨论 1 p n n x = 的敛散性。 解：易知 3 n x n （参见§1.1）， 2 p 1 n p x n 与 同阶 ，因此 p 2 时 n b 收敛，p 2 时 n b 发散。 5、 讨论级数 1 1 2 ( 1) ( 0) ( ( 1) ) n n p n p n + + = − + − 的敛散性。 解： 1 1 1 ( 1) ( 1) , , 0 2 ( ( 1) ) ( ) n n n n n n p p a b p b n n + + + − − = = + − 设 则： 时 条件收敛， 2 n p b 时 绝对收敛。 并且 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 [(1 ) 1] [1 ( ) 1] ( ) ( ) 2 n n n n p n n n p p p p p c a b n n n n n n + + + − − − − + − = − = + − = + − + −
p,p(P+1)(-1) +o 当p>1时∑cn绝对收敛,0<P≤1时∑cn发散:从而当1<p≤2时∑a条件 收敛,当p>2时∑a绝对收敛。 6、设an>0∑a发散,S=∑q。求证:级数∑当≤1时发散, 当p>1时发散。 解:先讨论p=1的情形。 ∑332点8-S) →1,由柯西准则∑。发散 当P<1时≥。(Sn21),所以∑发散 当p>1时∑a= d x dx=dx k=2 7、设(x)是(-∞,+∞)上连续的周期函数,周期为1,并且∫q(xltx=0, f(x)∈Co,1,a,=j(x)o(mk(m=12…)。证明:∑收敛 证明:n|=Jf(2)o(0)d ∫U(2)-f()ol f() n p(dt/sM p(oldy =lo(odt 故a≤,∑a收敛。 8、判断级数y、。、与∑-+)的敛散性 k!xk!2n1k!2=n1k(k-1)(k-2)
1 1 1 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 2 n p p p p p p o n n n + + + − + − = + + 。 可见： 1 0 1 2 2 n n n n p c p c p a p a 当 时 绝对收敛， 时 发散；从而当１ 时 条件 收敛 ,当 时 绝对收敛 。1 6 0, 1 n n n n n k p k n a a a S a p = S 、设 发散， 。求证：级数 当 时发散， = 当 时发散。 p 1 解：先讨论 1 1 1 1 ( ) m m m k k k k k k n k n k n k k m a S S p S S S S S − − = = = − = = − 的情形。 1 1 m m n m S S S → − − = → ，由柯西准则 n n a S 发散。 1 ( 1) n n n p p n n n n a a a p S S S S 当 时 ，所以 发散。 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 k k n k k S S S n n n k p p p p p k k k k k S S a a a p dx dx dx dx S S x x x − − = = = 当 时 = = + 7、设 ( ) x 是 ( , ) − + 上连续的周期函数，周期为 1，并且 1 0 ( ) 0 x dx = ， 1 1 2 0 ( ) [0 , 1] , ( ) ( ) ( 1, 2 , ) n n f x C a f x nx dx n a = = 。证明： 收敛 。 0 1 1 1 2 2 1 1 1 1 0 2 2 2 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , n k n n k k n n k k k k k n n t t k a f t dt f f t dt n n n n n t k M M f t dt t dtf t dt n n n n G a a n = − = = − − = = − = − = = 证明： 。 故 收敛。 8、判断级数 1 1 1 1 [ (1 )] [ (1 ) ] 1! 2! ! n e e n n − + + + + − + 与 的敛散性。 0 0 1 1 1 1 1 1 ! ! ! ( 1)( 2) n n k k k n k n u k k k k k k = = = + = + = − = = − − 解：
由比较法知第一个级数收敛。 2k=m+(k-1)(k-2)k(k-1)2n(n-1) (1+ 设f(x)=e-(1+-),则limf(x)=0;f(x) (1+x)ln(1+x) (1+x) x→01 故un与-同阶,从而第二个级数发散 9、设a个 证明:p>0时∑un收敛,p≤0时 ac ∑x发散 P≥1时0≤a aa 0<p<1时,比较un与wn 的关系,即1 的关系。对(1)=1在[x,1应用中值定理得0<1-x≤-(1-x"), 故L≤1mn。p≤0时a≤1,t1≥9-an由柯西准则可证。 10、设f(x)∈C°(-,+∞),J((x)-fm(x)≤。求证: 证:f(x)=∑(“(x)-/(x)+f(x),由条件可知极限 imfn(x)=∑((x)-f-(x)+f(x)存在,并且右边的级数一致收敛 记o(x)=lmf(x),又因∑(/(x)-/-(x)=∑((x)-f((x),并且 也一致收敛,所以φ(x)=∑(-f(x)+f(x ∑(6(x)-f(x)+f(x)=(x) 由此可推出结果
= 1 1 1 1 1 [ ] 2 ( 1)( 2) ( 1) 2 ( 1) k n k k k k n n = + − = − − − − ，由比较法知第一个级数收敛。 1 1 2 0 1 (1 ) 1 (1 )ln(1 ) ( ) (1 ) , lim ( ) 0 ; ( ) (1 ) x x x x x x x f x e f x f x x x → x + − + + = − + = = − + 设 则 0 1 2 x→ → 。故 1 n u n 与 同阶，从而第二个级数发散。 1 1 9 , 0 0 n n n n n p n n a a a u p u p a a + + − 、设 。证明： 时 收敛， 时 + = n u 发散。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) 0 1 1 1 ( ) n n p n n n n n n n n p p n n n n p n n p p n n n n a a a p u a a a a a a a a a a p u w a a a a + + + + + + + − = − − = − − 证明：设 。 时 时 ，比较 与 的关系，即 与 1 1 1 ( ) [ , 1] 0 1 (1 ) , 1 0 1 , p p p n n n n n n n t t x x x p a a u w p a u p a + + = − − − 的关系。对 在 应用中值定理得 故 。 时 由柯西准则可证。 ( ) ( 1) 2 1 10 ( ) ( , ) , ( ) ( ) n n f x C f x f x n − 、设 。求证： − + − ( ) lim ( ) n x n f x ce− →+ = ( ) ( ) ( 1) 1 ( ) ( ( ) ( )) ( ) n n k k k f x f x f x f x − = 证： ，由条件可知极限 = − + ( ) ( ) ( 1) 1 lim ( ) ( ( ) ( )) ( ) n k k n k f x f x f x f x + − → = = − + 存在，并且右边的级数一致收敛 。 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 1 1 ( ) lim ( ) , ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) n k k k k n k k x f x f x f x f x f x − + → = = 记 又因 = − = − ，并且 也一致收敛，所以 ( 1) ( ) 1 ( ) ( ( )) ( ) k k k x f f x f x + = = − + = = ( ) ( 1) 1 ( ( ) ( )) ( ) ( ) k k k f x f x f x x − = − + = 由此可推出结果