《数学分析》课程教学资源（考研辅导）第四讲 凸函数及其应用

2凸函数及其应用 凸函数定义及其等价形式 设f(x)在区间I上有定义,若对任意x1、x2∈I,λ∈[0,1]成立不等式 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-A)f(x2) 则称f(x)是区间I上的凸函数 f(x)是区间I上的凸函数当且仅当对任意x1、x2、x∈I,x1<x2<x3,下列不 等式之一成立 1(x)-(x)≤(x)-1(x),(x)-(x)≤f(x)-/(x x2-x1 x3-x1 事实上,设=32-x,则0<<1,且x2=2x+(1-2)x,代入上面任意 式,变形后即得定义形式 定理:若f(x)在区间I上连续,则f(x)是区间I上凸函数的充要条件为:对任意 x1、x2∈I成立 f(x1)+f(x2) 证:只须证明充分性。设n=k≥2时成立 x1+x,+…+x ((x)+f(x2)+…+f(x2) 1x1+…xx,k+……+x,k+t 考察n=k+1的情形:f( )=f( 2(2(f(x)+…+f(x2)+((x)+…(x) ((x)+f(x)+…+f(x…) 设A=m∈[0,1],则1-42- 。注意到kx=x+x+…+x,所以由上 可知∫(x1+(1-4)x2)=f( (2”-m) )≤,(八2”-m

20 20 §2 凸函数及其应用 凸函数定义及其等价形式： 设 f(x)在区间 I 上有定义,若对任意 x1 、x2 I ，  [0，1]成立不等式： f(  x1+(1-  )x2)   f(x1)+ (1- )f(x2) 则称 f(x)是区间 I 上的凸函数。 f(x)是区间 I 上的凸函数当且仅当对任意 x1 、x2 、x3 I ，x1 < x2 < x3，下列不 等式之一成立: 3 1 3 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x x x f x f x − −  − − ， 3 2 3 2 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x x x f x f x − −  − − 。 事实上，设  = 3 1 2 1 x x x x − − ，则 0 <  < 1 ,且 x2 =  x3+(1- )x1 ,代入上面任意 一式,变形后即得定义形式。 定理：若 f(x)在区间 I 上连续，则 f(x)是区间 I 上凸函数的充要条件为：对任意 x1 、x2 I 成立 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f +  + 。 证：只须证明充分性。设 n = k  2 时成立： ( ( ) ( ) ( )) 2 1 ) 2 ( 1 2 2 1 2 2 k k f x f x f x x x x f k k  + + + + + +   。 考察 n = k+1 的情形： )) 2 2 ( 2 1 ) ( 2 ( 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 k k k k x x k x k x k f x x f + + + + + + = + + + +    1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 2 2 k k k k k k k k k k x x x x f f f x f x f x f x + + + +   + + + +  +        + + + +     ( ( ) ( ) ( )) 2 1 1 1 1 2 2 = + + + + + f x f x f x k k  。 设  ＝ n m 2  [0，1]，则 1-  ＝ n n m 2 2 − 。注意到 kx =   k x + x + + x ，所以由上 可知 ( ) 2 2 ( ) 2 ) 2 (2 ) ( (1 ) ) ( 1 2 1 2 1 2 f x m f x mx m x m f x x f n n n n n −  + + −  + −  =

对任意λ∈[0,1],可用二进制数列{一}逼近,于是由连续性即证得定理 注:定理中f(x)连续性条件不能去掉。否则,即使定理中其他条件都成立,在实数 域内f(x)也不一定是凸函数(参阅史树中编《凸分析》P.72) 范例: 1、若f(x)是区间I上的凸函数,则对I的任一内点x,∫(x),∫"(x)都存在, 而且∫(x)≥f(x)。 证:x<x<,则fx)-/(x)≤f(x)-(x)。当x↑x时,上式左边个 当x2↓x时,上式右边↓,在由单侧导数定义即证。 2、设f(x)是区间I上的凸函数,则在I的任一闭子区间上f(x)有界 证:设[a,bcI,x∈[a,b],取=x-a b-a,则x=(1-)a+Ab, f(x)≤(1-λ)f(a)+Af(b)≤M 此处M=max(f(a),f(b)) +b 再令c 2,x∈[a,b],存在x关于c的对称点x,由f(x)的凸性得到 f(c)</(x)+f(x')e1 ≤-f(x)+M,因此,f(x)≥2f(c)-M=m。 2 3、设f(x)是区间(a,b)上的凸函数,则在(a,b)的任一闭子区间上f(x) 满足 Lipschitz条件。 证:设[a,]c(a,b),取h>0,使得[a-h,B+h]c(a,b)。Vx、 x∈[,B],x1<x.令x=x+h,则f(x)-f(x)f(x2)-f(x2)M-m x3- h f(x2)-f(x1)、f(x)-f(x3) M 又令x3=x1-h,则 因此有 x2-x1 h (x1)-f(x2)≤--x1-x2 h (注:由1知区间上凸函数一定连续,由3知区间上凸函数内闭一致连续。)

21 21 对任意   [0，1]，可用二进制数列{ n m 2 }逼近，于是由连续性即证得定理。 注：定理中 f(x)连续性条件不能去掉。否则,即使定理中其他条件都成立，在实数 域内 f(x)也不一定是凸函数（参阅史树中编《凸分析》P.72）。 范例： 1、若 f(x)是区间 I 上的凸函数，则对 I 的任一内点 x ， ( ) , ( ) _ f  x f  x + 都存在， 而且 ( ) ( ) _ f  x  f  x + 。 证：x1 < x < x2 ，则 x x f x f x − − 1 1 ( ) ( )  x x f x f x − − 2 2 ( ) ( ) 。当 x1  x 时，上式左边  ， 当 x2  x 时，上式右边  ，在由单侧导数定义即证。 2、设 f(x)是区间 I 上的凸函数，则在 I 的任一闭子区间上 f(x)有界。 证：设[a，b]  I ， x  [a，b]，取  ＝ b a x a − − ，则 x =（1- ）a +  b , f(x)  （1-  ）f(a) +  f(b)  Ｍ ( 此处Ｍ＝ max(f(a) , f(b)) ) 。 再令 c = 2 a + b ， x  [a，b]，存在 x 关于 c 的对称点 x  ，由 f(x)的凸性得到 f x M f x f x f c 2 1 ( ) 2 1 2 ( ) ( ) ( )  + +   ，因此，f(x)  2 f(c)– Ｍ ＝ ｍ 。 3、设 f(x)是区间（a ，b）上的凸函数，则在（a ，b）的任一闭子区间上 f(x) 满足 Lipschitz 条件。 证：设 [ ,  ]  （a ，b），取 h > 0,使得 [ − h,  + h]  （a ，b）。  x1 、 x2 [ ,  ]，x1 < x2 . 令 x3 = x2 + h ,则 2 1 2 1 ( ) ( ) x x f x f x − −  3 2 3 2 ( ) ( ) x x f x f x − −  h M − m . 又令 x3 = x1 – h ,则 2 1 2 1 ( ) ( ) x x f x f x − −  1 3 3 ( ) ( ) x x f x f x − −  － h M − m ．因此有 1 2 1 2 ( ) ( ) x x h M m f x f x − − −  。 （注：由 1 知区间上凸函数一定连续，由 3 知区间上凸函数内闭一致连续。）

4、设a1,a an,为n个正数,证明:∏a2∏ 证:取对数原式变形为∑a血a2Ca)h∏a,),注意到 hn(la, )"sIn( n,只须证∑aha2)之 ),即证 ∑aha1≥(∑a,)h(气“)。为此,设f(x)=xhx,上式可表示为 1∑(a)≥/∑a)。由于f'(x>0,my是凸函数,故而命题成立。 5、设p>0,a8>0(k=1,2,…,n)。求证 Pk Prak n Pk Pk 证:原式可变形为-ln ∑l=22地22),于是 由∫(x)=-lx的凸性可得第一个不等式,由g(x)=hx的凹性可得第二个不等式 6、设p>0,4>0。求证:当0<x<7时sm" x cosx<.p"q V(p+g)p+ 证:原式可变形为 sin x P P+9,取对数又可变形为 sIn xx q In( )<m(—),由g(x)=hnx的凹性即证 p+q p+ q 7、设a>0,b>0,q>0,∑q1=1,则:∏a"+∏bs∏(a+b)

22 22 4、设 a1 ，a2 ，．．．，a n ，为 n 个正数，证明：           =   = = n i i i a n n i i n i a ai a 1 1 1 1 。 证：取对数原式变形为 n ai ai ai ai 1  ln  ( )ln( ) ，注意到 ln( ) ln( ) 1 n a a i n i    ，只须证 ln ( )ln( ) n a a a a i i i i     ，即证 )ln( ) 1 ln ( 1 n a a n a a n i i i i     。为此，设 f (x) = x ln x ，上式可表示为 ) 1 ( ) ( 1  i  ai n f a f n 。由于 f (x)  0 ，f(x)是凸函数，故而命题成立。 5、设 pk  0 , ak  0 （k = 1，2 ,…, n） 。求证：         = = k k k p p a n k k k n k k p p a a p p e k k k ) ln ( 1 1 。 证：原式可变形为       −  ( )ln  ln ( ) 1 ln( ( ) k k k k k k k k k p p a a p p p a p ，于是 由 f (x) = −ln x 的凸性可得第一个不等式，由 g(x) = ln x 的凹性可得第二个不等式。 6、设 p > 0 , q > 0 。求证：当 2 0   x  时 p q p q p q p q p q x x + +  ( ) sin cos 。 证：原式可变形为 p q p q q p q x p x +         +                 sin cos 1 2 2 ，取对数又可变形为 ) 1 ) ln( cos ) ln( sin ln( 2 2 q p q x p q q p x p q p +  + + + ，由 g(x) = ln x 的凹性即证。 7、设 ai > 0 , bi > 0 , qi > 0 , 1 1  = = n i qi , 则： i i qi i n i i n i q i n i q ai b (a b ) 1 1 1  +   + = = =

证:原式变形为1+ b 取对数又可变形为 ≤∑qm(1+)。注意到 n- qe,上式又可变形为h1+>h2) 9h/1+。hn2 令 f(x)=l(1+e),由f(x)的凸性即证。 8、设a1>0,凡k>0(=12,…n,k=12,…,m),∑k=1。则: 注:若m=2,记a1=a1,a2=b,p= 己q2’则上式就是 Holder不等式 ∑abk≤△ay(hy",再记4=a1,B=b,不等式又可写成 ∑ABC4y△E),当p=9=2时即得柯西不等式 证:记Ak=∑a,右边即为∏4,不等式变形为 A I ≤1+2+…+nm,及A的 A-A, 定义可知不等式成立。 9、设ak>0,bk>0,p>1。求证 Minkowski不等式 ②(a4+b))%sca)+Cby

23 23 证：原式变形为 i qi n i i i q n i i i a b a b   = =          +         + 1 1 1 1 ，取对数又可变形为 ln 1 ln(1 ) i i i q i i a b q a b i  +                 +  。注意到 e i i i i a b q q i i a b  =          ln ， e i i a b i i a b ln = ，上式又可变形为         +       + e  e i i i i i a b i a b q q ln ln ln 1 ln 1 。令 ( ) ln(1 ) x f x = + e ，由 f(x)的凸性即证。 8、设 0 , 0 ( 1,2, , , 1,2, , ) , 1 1   = =  = = m k k i k m k a  i  n k   。则： k k m k n i k i n i m k ak i a      = = = =        1 1 1 1 。 注：若 m=2，记 1 2 1 2 1 , 1 , ,   a i = ai a i = bi p = q = ，则上式就是 H older .. 不等式 ( ) ( ) ( ) ( ) 当 时即得柯西不等式。 再记 不等式又可写成： , 2 , , , 1 1 1 1 1 1 1 1  = =  = =       A B A B p q a b a b A a B b q q i p p i i i q i i p i i q i p i q i p i 证：记Ａk = = n i aki 1 ，右边即为  k Ak  ，不等式变形为： 1 1 2 2 2 1 1 1                          = m m i mi n i i A a A a A a     ， 由于 m m i i mi A a A a A a                             1 2 2 2 1 1 k m mi m i i A A a A a A a   +  ++  ，及 2 2 2 1 1 1 的 定义可知不等式成立。 9、设 ak  0 , bk  0 ， p  1 。求证 Minkowski 不等式： ( ) ( ) ( ) p p k p p k p p ak bk a b 1 1 1 ( + )   + 

证:记c=a4+b1,则∑(a4+b)=∑ac+∑bc ∑(a)(e)+∑(b say△e)h+by∑e?)h y+①ya+y了 再注意到11p-1 即证 10、设a,a2…n是互不相同的正整数,则:∑2k ):1(号)签月), 个不等式是因为诸a各不相同,故可设a≥k 11设f(x)在a,b]连续,o(x)是(-∞,+∞)上的凸函数,则 b_aJo(r)dx 2p(/(xdr 证:在不等式ba2(5)=2b0((5)20b()两边 令=max{△x;}→0(n→>∞)取极限即证 12、设f(x)在(a,b)连续,则x)是凸函数的充要条件是:对任意含于(a,b)的闭区间 x,x+h,都有f(x)≤,f(x+)dh 证:(必要性)V≤h,(x)≤(f(x-t)+f(x+),故 2hf(x)≤|f(x-1)+f(x+)d=|f(x+t)lt

24 24 证：记 1 1 , ( ) − − = +  + =  + p k k p k k p k k k k k c a b 则： a b a c b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   p p p k k p p k p p k p p p k p p k p p p k p p k p p p k p p k p p p k p p k a b a b a c b c a c b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − −          +     = +  + = + 再注意到 p p p 1 1 1 − − = 即证。 10、设 a a an , , , 1 2  是互不相同的正整数，则：   = =  n k n k k k k a 1 1 2 1 。 证： 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n k k k k k k k k k k k a a a = = = = = = k k k a k k a                   =                          ，最后一 个不等式是因为诸 k a 各不相同，故可设 a k k  。 11、设 f（x）在[a，b]连续， (x)是（−，+ ） 上的凸函数，则：   −  − b a b a f x dx b a f x dx b a ( ) ) 1 ( ( )) ( 1   。 证：在不等式 ( ( )) ( ( )) ( ( )) 1 1 i i i i i n i i f b a x f b a x f x b a         −   −   = − = 两边 令 = max{x }→ 0 (n → )  i 取极限即证。 12、设 f(x)在(a ,b)连续，则 f(x)是凸函数的充要条件是：对任意含于(a ,b)的闭区间 [x-h，x+h]，都有  −  + h h f x t dt h f x ( ) 2 1 ( ) 。 证：（必要性）  t  h ，f(x)  2 1 ( f(x-t) + f(x+t))，故 2 h f(x)  2 1  − − + + h h f (x t) f (x t)dt ＝  − + h h f (x t)dt